Dados o pontos A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2). Calcule:
a) os comprimentos dos lados do triângulo ABC ; 2, raiz2, raiz6
b) o maior ângulo do triângulo; A=90^circ
c) projA C^A B ; O
d) a área do triângulo ABC raiz2

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2) no espaço e pede: (a) as distâncias AB, AC, BC; (b) o maior ângulo do triângulo ABC; (c) a projeção de AB sobre AC; (d) a área do triângulo. Vamos usar fórmula da distância, produto escalar, projeção vetorial e produto vetorial.

Passo 2

Calcular os vetores e seus comprimentos:
AB=B-A=(3-1,2-2,1-1)=(2,0,0), logo
|AB|=raiz2^2+0^2+0^2=2
AC=C-A=(1-1,1-2,2-1)=(0,-1,1), logo
|AC|=raiz0^2+(-1)^2+1^2=raiz2
BC=C-B=(1-3,1-2,2-1)=(-2,-1,1), logo
|BC|=raiz(-2)^2+(-1)^2+1^2=raiz6

Passo 3

Para achar o ângulo em A usamos o produto escalar
ABcdotAC=2cdot0+0cdot(-1)+0cdot1=0
Como ABperpAC, temos coshat A=0 e hat A=90^circ. Esse é o maior ângulo do triângulo.

Passo 4

A projeção de sobre é

Passo 5

A área do triângulo é metade da norma do produto vetorial ABtimesAC. Calculando
ABtimesAC = i&j&k 2&0&0 0&-1&1 =(0,-2,-2),
l|ABtimesACr|=raiz0^2+(-2)^2+(-2)^2=raiz8=2raiz2,
então
área=tfrac12cdot2raiz2=raiz2 á

Resposta

a) 2, raiz2, raiz6
b) hat A=90^circ
c) 0
d) raiz2

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