Dados o pontos e . Calcule:
a) os comprimentos dos lados do triângulo
b) o maior ângulo do triângulo;
c)
d) a área do triângulo ABC raiz2
Passo 1
O enunciado dá os pontos A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2) no espaço e pede: (a) as distâncias AB, AC, BC; (b) o maior ângulo do triângulo ABC; (c) a projeção de AB sobre AC; (d) a área do triângulo. Vamos usar fórmula da distância, produto escalar, projeção vetorial e produto vetorial.
Passo 2
Calcular os vetores e seus comprimentos: AB=B-A=(3-1,2-2,1-1)=(2,0,0), logo
|AB|=raiz2^2+0^2+0^2=2
AC=C-A=(1-1,1-2,2-1)=(0,-1,1), logo
|AC|=raiz0^2+(-1)^2+1^2=raiz2
BC=C-B=(1-3,1-2,2-1)=(-2,-1,1), logo
|BC|=raiz(-2)^2+(-1)^2+1^2=raiz6
Passo 3
Para achar o ângulo em A usamos o produto escalar
ABcdotAC=2cdot0+0cdot(-1)+0cdot1=0
Como ABperpAC, temos coshat A=0 e hat A=90^circ. Esse é o maior ângulo do triângulo.
Passo 4
A projeção de sobre é
Passo 5
A área do triângulo é metade da norma do produto vetorial ABtimesAC. Calculando