Exercício 9. Sejam A=[lll1 & 0 & 3 4 & 5 & 6 7 & 0 & 9] e B=[rrr2 & 0 & 0 pi & 3 & 0 raiz2 & 1 / 7 & 4].
a) Mostre que A é invertível.
b) Encontre o valor de det(A^2 B^-1 A^-2 B^2).

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & 0 & 3 4 & 5 & 6 7 & 0 & 9 e B = 2 & 0 & 0 pi & 3 & 0 raiz2 & tfrac17 & 4
e pede:
a) mostrar que A é invertível (isto é, det(A)neq0);
b) calcular detl(A^2B^-1A^-2B^2r).
O conteúdo envolvido são determinantes e suas propriedades — multiplicatividade e inversão.

Passo 2

Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet5 & 60 & 9 -0cdotdet4 & 67 & 9 +3cdotdet4 & 57 & 0
Aqui
det5 & 60 & 9=5cdot9-6cdot0=45, det4 & 57 & 0=4cdot0-5cdot7=-35

Passo 3

Substituindo,
det(A)=1cdot45+3cdot(-35)=45-105=-60neq0
Logo A é invertível.

Passo 4

Para detl(A^2B^-1A^-2B^2r) usamos
det(XY)=det(X)det(Y), det(X^-1)=det(X)^-1
Assim
detl(A^2B^-1A^-2B^2r) =det(A^2),det(B^-1),det(A^-2),det(B^2)

Passo 5

Como det(A^2)=det(A)^2, det(A^-2)=det(A)^-2, det(B^2)=det(B)^2 e det(B^-1)=det(B)^-1, segue
detl(A^2B^-1A^-2B^2r) =det(A)^2-2,det(B)^2-1 =det(B)

Passo 6

Basta então calcular det(B) por expansão na primeira linha:
det(B) =2cdotdet3 & 0tfrac17 & 4 =2cdot(3cdot4-0cdottfrac17) =2cdot12 =24

Resposta

24

Exercícios relacionados