Dados os pontos A=(3,4,-2), B=(1,2,4) e C=(2,1,6), determinar o ponto simétrico a A com relação à reta que passa por B e C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto simétrico ao ponto A = (3, 4, -2) em relação à reta que passa pelos pontos B = (1, 2, 4) e C = (2, 1, 6) . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente projeções de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta que passa por B e C . Para isso, calculamos o vetor que vai de B até C , que chamaremos de u .
u = C - B = (2 - 1, 1 - 2, 6 - 4) = (1, -1, 2)

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor que vai de B até A , que chamaremos de v .
v = A - B = (3 - 1, 4 - 2, -2 - 4) = (2, 2, -6)

Passo 4

Para encontrar a projeção do vetor v sobre o vetor u , usamos a fórmula da projeção vetorial:
proju v = ( v cdot uu cdot u ) u
Vamos calcular o produto interno v cdot u :
v cdot u = (2)(1) + (2)(-1) + (-6)(2) = 2 - 2 - 12 = -12
E o produto interno u cdot u :
u cdot u = (1)^2 + (-1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6
Então, a projeção fica:
proju v = ( -126 ) u = -2 u = -2(1, -1, 2) = (-2, 2, -4)

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto P na reta BC que é a projeção de A . Sabemos que:
P = B + proju v = (1, 2, 4) + (-2, 2, -4) = (-1, 4, 0)

Passo 6

Para encontrar o ponto simétrico A' de A em relação à reta BC , usamos a relação:
A' = 2P - A
Vamos calcular:
A' = 2(-1, 4, 0) - (3, 4, -2) = (-2, 8, 0) - (3, 4, -2) = (-2 - 3, 8 - 4, 0 - (-2)) = (-5, 4, 2)

Resposta

O ponto simétrico a A com relação à reta que passa por B e C é A' = (-5, 4, 2) .

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