Para os exercícios a seguir, consideremos A B C D um tetraedro e tomemos a base B=(A B, A C, A D) e o sistema de coordenadas Sigma=(A, B). Sejam P, Q, R, S, T e U os pontos médios das arestas B C, A D, A C, B D, A B e C D, respectivamente; enquanto E, F, G e H são os baricentros das faces triang<= B C D, triang<= A C D, triang<= A B D e triang<= A B C, respectivamente.
Se A=(x1, y1, z1), B=(x2, y2, z2), C=(x3, y3, z3) e D=(x4, y4, z4). Supondo que A B C D formam um tetraedro, determine fórmula para o centróide do tetraedro A B C D.

Passo 1

O enunciado pede o centróide (ou baricentro) do tetraedro ABCD. Em geometria vetorial sabe-se que o vetor posição do centróide de um conjunto finito de pontos é a média aritmética dos vetores posição desses pontos. Aqui vamos usar que
OG =OA+OB+OC+OD4,
onde O é a origem do sistema cartesiano e G é o centróide de ABCD. A partir desse vetor posição extraímos as coordenadas de G.

Passo 2

Escrevendo OA = (x1,y1,z1), OB=(x2,y2,z2), OC=(x3,y3,z3) e OD=(x4,y4,z4), a média vetorial é
OG =14l((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)+(x3,y3,z3)+(x4,y4,z4)r)

Passo 3

Somando componente a componente e dividindo por 4, obtemos
OG =gl(x1+x2+x3+x44,; y1+y2+y3+y44,; z1+z2+z3+z44gr)

Resposta

O centróide G do tetraedro ABCD tem coordenadas
Ggl(x1+x2+x3+x44,; y1+y2+y3+y44,; z1+z2+z3+z44gr)

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