Para os exercícios a seguir, consideremos A B C D um tetraedro e tomemos a base B=(A B, A C, A D) e o sistema de coordenadas Sigma=(A, B). Sejam P, Q, R, S, T e U os pontos médios das arestas B C, A D, A C, B D, A B e C D, respectivamente; enquanto E, F, G e H são os baricentros das faces triang<= B C D, triang<= A C D, triang<= A B D e triang<= A B C, respectivamente.
Uma mediana do tetraedro é o segmento de reta determinado por um vértice e o baricentro da face oposta. Mostre que todas as 4 (quatro) medianas do tetraedro A B C D se encontram num mesmo ponto, que será chamado de centróide do tetraedro A B C D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num tetraedro A B C D, as quatro medianas (segmentos de cada vértice ao baricentro da face oposta) se encontram num ponto único—o centróide. Vamos usar geometria analítica em R^3, escolhendo como origem A e como eixos as vetores A B,A C,A D.

Passo 2

Em Sigma=(A, B) temos as coordenadas
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1)

Passo 3

O baricentro da face B C D é
E=B+C+D3=l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r)
O baricentro da face A C D é
F=A+C+D3=l(0,tfrac13,tfrac13r)

Passo 4

Parametrizamos a mediana de A a E:
ellA E(t)=t,E=l(ttfrac13,;ttfrac13,;ttfrac13r), tin[0,1]
Para t=tfrac34 obtemos
ellA E!l(tfrac34r)=l(tfrac14,tfrac14,tfrac14r)
Agora a mediana de B a F:
ellB F(s)=B+s,(F-B)=l(1-s,;stfrac13,;stfrac13r)
Para s=tfrac34 surge
ellB F!l(tfrac34r)=l(1-tfrac34,tfrac34cdottfrac13,tfrac34cdottfrac13r) =l(tfrac14,tfrac14,tfrac14r)
Portanto, ellA E e ellB F se cruzam em l(tfrac14,tfrac14,tfrac14r). Por simetria idêntico cálculo mostra que as medianas de C e de D também passam por esse ponto.

Passo 5

Concluímos que as quatro medianas são concorrentes no ponto
G=l(tfrac14,tfrac14,tfrac14r),
chamado centróide de A B C D.

Resposta

As quatro medianas concorrem em l(tfrac14,tfrac14,tfrac14r), o centróide do tetraedro.

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