Para os exercícios a seguir, consideremos A B C D um tetraedro e tomemos a base B=(A B, A C, A D) e o sistema de coordenadas Sigma=(A, B). Sejam P, Q, R, S, T e U os pontos médios das arestas B C, A D, A C, B D, A B e C D, respectivamente; enquanto E, F, G e H são os baricentros das faces triang<= B C D, triang<= A C D, triang<= A B D e triang<= A B C, respectivamente.
Uma bimediana do tetraedro é o segmento determinado pelos pontos médios de duas arestas opostas. Mostre que todas as 3 (três) bimedianas do tetraedro A B C D se encontram no seu centróide.

Passo 1

O enunciado define um tetraedro ABCD e, no sistema Sigma=(A,(AB,AC,AD)), pede para mostrar que as três bimedianas—segmentos que ligam pontos médios de arestas opostas—concorrem no centróide do tetraedro. Vamos usar coordenadas vetoriais para A,B,C,D, calcular esses pontos médios, obter o centróide pelo ponto médio dos quatro vértices e verificar que ele pertence a cada bimediana.

Passo 2

No sistema Sigma temos
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1)

Passo 3

Os pontos médios das arestas opostas são:
P=médio de BC=l(tfrac12,tfrac12,0r), Q=médio de AD=l(0,0,tfrac12r), éé
R=médio de AC=l(0,tfrac12,0r), S=médio de BD=l(tfrac12,0,tfrac12r), éé
T=médio de AB=l(tfrac12,0,0r), U=médio de CD=l(0,tfrac12,tfrac12r) éé

Passo 4

O centróide G do tetraedro é a média dos vértices:
G=A+B+C+D4=l(tfrac14,tfrac14,tfrac14r)

Passo 5

Para verificar que G está em cada bimediana, basta ver que é o ponto médio de cada par. Por exemplo, em PQ temos
G=tfrac12,P+tfrac12,Q,
pois tfrac12(1/2,1/2,0)+tfrac12(0,0,1/2)=(1/4,1/4,1/4). De modo análogo,
G=tfrac12,R+tfrac12,S, G=tfrac12,T+tfrac12,U

Resposta

As três bimedianas PQ, RS e TU concorrem em G=(tfrac14,tfrac14,tfrac14), que é o centróide do tetraedro ABCD.

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