Para os exercícios a seguir, consideremos A B C D um tetraedro e tomemos a base B=(A B, A C, A D) e o sistema de coordenadas Sigma=(A, B). Sejam P, Q, R, S, T e U os pontos médios das arestas B C, A D, A C, B D, A B e C D, respectivamente; enquanto E, F, G e H são os baricentros das faces triang<= B C D, triang<= A C D, triang<= A B D e triang<= A B C, respectivamente.
Determine as coordenadas B, C, D, E, F, G, H, P, Q, R, S, T e U no sistema Sigma.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro A B C D e escolhe como sistema de coordenadas Sigma=(A,(AB,AC,AD)). Isso significa que a origem é A e as coordenadas de qualquer ponto X são os coeficientes na combinação
AX=x:AB+y:AC+z:AD!,
isto é, X=(x,y,z). Vamos usar as definições:
– ponto médio de X,Y tem coordenadas l(tfracxX+xY2,tfracyX+yY2,tfraczX+zY2r);
– baricentro da face XYZ é o centro de massa dos três vértices, ou seja l(tfracxX+xY+xZ3,tfracyX+yY+yZ3,tfraczX+zY+zZ3r).

Passo 2

Como base, ABmapsto(1,0,0), ACmapsto(0,1,0) e ADmapsto(0,0,1). Logo:
B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1)

Passo 3

Baricentros das faces:
E=bar,(B,C,D)=l(tfrac1+0+03,tfrac0+1+03,tfrac0+0+13r)=l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r),
F=bar,(A,C,D)=l(tfrac0+0+03,tfrac0+1+03,tfrac0+0+13r)=l(0,tfrac13,tfrac13r),
G=bar,(A,B,D)=l(tfrac0+1+03,tfrac0+0+03,tfrac0+0+13r)=l(tfrac13,0,tfrac13r),
H=bar,(A,B,C)=l(tfrac0+1+03,tfrac0+0+13,tfrac0+0+03r)=l(tfrac13,tfrac13,0r)

Passo 4

Pontos médios das arestas:
P=tfracB+C2=l(tfrac1+02,tfrac0+12,0r)=l(tfrac12,tfrac12,0r),
Q=tfracA+D2=l(0,0,tfrac0+12r)=l(0,0,tfrac12r),
R=tfracA+C2=l(0,tfrac12,0r),
S=tfracB+D2=l(tfrac12,0,tfrac12r),
T=tfracA+B2=l(tfrac12,0,0r),
U=tfracC+D2=l(0,tfrac12,tfrac12r)

Resposta

B=(1,0,0)
C=(0,1,0)
D=(0,0,1)
E=l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r)
F=l(0,tfrac13,tfrac13r)
G=l(tfrac13,0,tfrac13r)
H=l(tfrac13,tfrac13,0r)
P=l(tfrac12,tfrac12,0r)
Q=(0,0,tfrac12)
R=(0,tfrac12,0)
S=l(tfrac12,0,tfrac12r)
T=(tfrac12,0,0)
U=(0,tfrac12,tfrac12)

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