Dados os pontos A=(2,3,4)Sigma e B=(8,9,10)Sigma, determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de P B seja o triplo do comprimento de P A.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(2,3,4) e B=(8,9,10) no espaço e pede um ponto P na reta AB tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA.
Conteúdo: divisão interna de segmento no espaço e parametrização de reta.

Passo 2

Vamos escrever a reta AB em forma paramétrica. O vetor diretor é
AB=B-A=(8-2,,9-3,,10-4)=(6,6,6)
Logo um ponto genérico P na reta é dado por
P=A + t,AB=(2,3,4)+t,(6,6,6)
Nesse parâmetro, temos
PA = |t|,|AB| e
PB = |1-t|,|AB|.

Passo 3

Queremos PB = 3,PA. Como assumimos P entre A e B, temos 0<t<1 e então
1-t = 3,t Longrightarrow 1 = 4,t Longrightarrow t=tfrac14

Passo 4

Substituindo t=tfrac14 em P=(2,3,4)+t,(6,6,6), obtemos
P=l(2+tfrac14cdot6,;3+tfrac14cdot6,;4+tfrac14cdot6r) =(2+1,,3+1,,4+1)=(3,4,5)

Resposta

P=(3,4,5).

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