Sejam A=(ccc1 & -1 & 2 1 & 2 & 2), B=(ccc4 & 0 & -3 -1 & -42 & 3), C=(lll0 & 1 & 2 3 & 2 & 7 0 & 5 & 1),
D=(c1 3 -4) e E=(lll7 & -1 & 2)
Encontre:
A^t, A^t C,(A C)^t, D D^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos dá várias matrizes e pede para encontrar as seguintes operações: a transposta de A ( A^t), o produto da transposta de A com C ( A^t C), a transposta do produto de A com C ( (A C)^t), e o produto de D com sua transposta ( D D^t). Para isso, vamos precisar entender o que é transposta de uma matriz e como multiplicar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta da matriz A, ou seja, A^t. A transposta de uma matriz é obtida invertendo suas linhas por colunas. Se A é uma matriz com linhas e colunas, A^t terá as linhas de A como colunas e as colunas de A como linhas.
A matriz A é:
A = 1 & -1 & 2 1 & 2 & 2
Transpondo A, trocamos linhas por colunas:
A^t = 1 & 1 -1 & 2 2 & 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto da transposta de A com a matriz C, ou seja, A^t C. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Vamos garantir que isso é verdade e em seguida multiplicar elemento a elemento e somar.
A matriz A^t é 3x2 e a matriz C é 3x3, então não podemos multiplicá-las diretamente. Parece que há um erro na dimensão das matrizes. Vamos verificar novamente os tamanhos:
  • A^t: 3 linhas x 2 colunas
  • C: 3 linhas x 3 colunas
Para multiplicação de matrizes A^t C ser possível, o número de colunas de A^t (2) deve ser igual ao número de linhas de C (3). Como não é o caso, o produto A^t C não está definido. Parece que houve um erro no enunciado ou nas dimensões das matrizes fornecidas.

Passo 4

Passando para a próxima parte, vamos calcular a transposta do produto de A com C, (A C)^t. Primeiro, precisamos multiplicar A por C, se possível, e depois transpor o resultado.
Matriz A é 2x3 e C é 3x3, então podemos multiplicá-las, resultando em uma matriz 2x3.
Vamos multiplicar A por C:
A = 1 & -1 & 2 1 & 2 & 2 , C = 0 & 1 & 2 3 & 2 & 7 0 & 5 & 1
Multiplicação A C:
  • Elemento (1,1): (1)(0) + (-1)(3) + (2)(0) = 0 - 3 + 0 = -3
  • Elemento (1,2): (1)(1) + (-1)(2) + (2)(5) = 1 - 2 + 10 = 9
  • Elemento (1,3): (1)(2) + (-1)(7) + (2)(1) = 2 - 7 + 2 = -3
  • Elemento (2,1): (1)(0) + (2)(3) + (2)(0) = 0 + 6 + 0 = 6
  • Elemento (2,2): (1)(1) + (2)(2) + (2)(5) = 1 + 4 + 10 = 15
  • Elemento (2,3): (1)(2) + (2)(7) + (2)(1) = 2 + 14 + 2 = 18
Então, A C é:
A C = -3 & 9 & -3 6 & 15 & 18
Agora, vamos transpor essa matriz:
(A C)^t = -3 & 6 9 & 15 -3 & 18

Passo 5

Por fim, vamos calcular o produto de D com sua transposta, D D^t. A matriz D é um vetor coluna, então D transposto será um vetor linha. Multiplicar um vetor coluna por um vetor linha resulta em uma matriz.
D é:
D = 1 3 -4
Transpondo D:
D^t = 1 & 3 & -4
Agora, multiplicamos D por D^t:
D D^t = 1 3 -4 1 & 3 & -4 = 1 times 1 & 1 times 3 & 1 times (-4) 3 times 1 & 3 times 3 & 3 times (-4) -4 times 1 & -4 times 3 & -4 times (-4) = 1 & 3 & -4 3 & 9 & -12 -4 & -12 & 16

Resposta

As soluções são:
A^t = 1 & 1 -1 & 2 2 & 2
O produto (A C)^t é:
(A C)^t = -3 & 6 9 & 15 -3 & 18
E o produto D D^t é:
D D^t = 1 & 3 & -4 3 & 9 & -12 -4 & -12 & 16

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