Um vetor \mathbf{v} de comprimento \sqrt{5} se estende ao longo da reta que passa por \mathbf{A}(0,0,4) e \mathbf{B}(2,5,0). Encontre as coordenadas de \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor \mathbf{v} de comprimento \sqrt{5} que esteja sobre a reta que passa por \mathbf{A}(0,0,4) e \mathbf{B}(2,5,0). O conteúdo aqui é de geometria vetorial: primeiro encontramos a direção da reta, depois normalizamos esse vetor-direção e, por fim, escalonamos para ter o comprimento desejado.

Passo 2

A direção da reta é dada pelo vetor que vai de \mathbf{A} a \mathbf{B}. Chamando esse vetor de \mathbf{d}, temos
\mathbf{d} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (2-0,\;5-0,\;0-4) = (2,5,-4).

Passo 3

Calculamos o módulo de \mathbf{d}:
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.

Passo 4

O vetor unitário na direção de \mathbf{d} é
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{d}}{\|\mathbf{d}\|} = \frac{1}{3\sqrt{5}}\,(2,5,-4).

Passo 5

Para obter um vetor de comprimento \sqrt{5}, basta multiplicar \mathbf{u} por \sqrt{5}:
\mathbf{v} = \sqrt{5}\,\mathbf{u} = \sqrt{5}\,\frac{1}{3\sqrt{5}}\,(2,5,-4) = \Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{5}{3},-\tfrac{4}{3}\Bigr).
Como a reta admite as duas direções, também vale o oposto
\bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).

Resposta

\mathbf{v} = \Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{5}{3},-\tfrac{4}{3}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \mathbf{v} = \Bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr).

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