Dados os pontos do R^3: F=(1,-1,1), Q=(2,0,2), P=(2,1,4) e T=(3,2,5)
Mostre que os pontos F, Q, P e T pertencem a um único plano, determinando suas equações paramétricas.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos
F=(1,-1,1), Q=(2,0,2), P=(2,1,4), T=(3,2,5)
em R^3. Precisamos mostrar que eles são coplanares e encontrar as equações paramétricas do plano que passa por F,Q,P (e, consequentemente, por T).

Passo 2

Para escrever o plano em forma paramétrica, tomamos F como ponto base e dois vetores diretores não colineares:
vec v=FQ=Q-F=(2-1,;0-(-1),;2-1)=(1,1,1),
vec w=FP=P-F=(2-1,;1-(-1),;4-1)=(1,2,3)
Assim, o plano é dado por
(x,y,z)=(1,-1,1)+s,(1,1,1)+t,(1,2,3), s,tinR

Passo 3

Verificamos se
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem . Subtraindo, obtemos e então . A terceira equação confirma . Logo, está naquele plano, provando que os quatro pontos são coplanares.

Resposta

As equações paramétricas do plano que contém F,Q,P e T são
x = 1 + s + t,
y = -1 + s + 2t,
z = 1 + s + 3t, s,tinR

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