Verifique se os pontos A, B, C e D pertencem ao mesmo plano. Se isso acontecer, determine a equação cartesiana do plano:
A=(1,1,1), B=(5,-2,3), C=(0,2,1) e D=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
A=(1,1,1), B=(5,-2,3), C=(0,2,1) e D=(1,2,3).
Queremos verificar se estão coplanares e, em caso afirmativo, encontrar a equação cartesiana do plano que passa por A, B e C.
Para isso usaremos:
  • Produto misto para testar coplanaridade: três vetores são coplanares se e somente se
ucdot(vtimesw)=0
  • Produto vetorial para obter o vetor normal n ao plano e a fórmula do plano com normal n=(a,b,c) passando por (x0,y0,z0):
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

Passo 2

Definimos os vetores a partir de A:
AB=B-A=(5-1,,-2-1,,3-1)=(4,-3,2),
AC=C-A=(0-1,,2-1,,1-1)=(-1,1,0),
AD=D-A=(1-1,,2-1,,3-1)=(0,1,2)

Passo 3

Calculamos o produto misto
ABcdot(ACtimesAD).
Primeiro o produto vetorial:
ACtimesAD = i & j & k -1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 =(2,2,-1)
Em seguida o escalar:
ABcdot(2,2,-1) =4cdot2+(-3)cdot2+2cdot(-1) =8-6-2=0
Como o produto misto é zero, os quatro pontos são coplanares.

Passo 4

Para achar a equação do plano, precisamos do vetor normal. Usamos
n=ABtimesAC = i & j & k 4 & -3 & 2 -1 & 1 & 0 =(-2,-2,1)

Passo 5

Montamos a equação de um plano com normal n=(-2,-2,1) e ponto A=(1,1,1):
-2(x-1)-2(y-1)+(z-1)=0
Distributiva e reorganização dão
-2x+2-2y+2+z-1=0 Longrightarrow -2x-2y+z+3=0
Multiplicando por -1, obtemos a forma final
2x+2y-z-3=0

Resposta

Sim, os pontos são coplanares.
A equação cartesiana do plano é
2x+2y-z-3=0

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