Dados os pontos do R^3: F=(1,-1,1), Q=(2,0,2), P=(2,1,4) e T=(3,2,5)
Mostre que esses pontos são vértices de um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
F=(1,-1,1), Q=(2,0,2), P=(2,1,4), T=(3,2,5)
Queremos mostrar que o quadrilátero formado por eles é um paralelogramo. Para isso vamos usar vetores e verificar que tanto os pares de lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento.

Passo 2

Calcular os vetores FQ e PT:
FQ=Q - F = (2,0,2)-(1,-1,1)=(1,1,1),
PT=T - P = (3,2,5)-(2,1,4)=(1,1,1)
Como FQ=PT, eles são paralelos e de mesmo módulo.

Passo 3

Calcular os vetores FP e QT:
FP=P - F = (2,1,4)-(1,-1,1)=(1,2,3),
QT=T - Q = (3,2,5)-(2,0,2)=(1,2,3)
Aqui também FP=QT, logo eles são paralelos e de mesmo comprimento.

Passo 4

Como há dois pares de lados opostos iguais e paralelos ( FQ=PT e FP=QT), o quadrilátero Fto Qto Tto Pto F é um paralelogramo.

Resposta

Os pontos F, Q, T e P são vértices de um paralelogramo, tomados na ordem F, Q, T, P.

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