Dados os pontos do R^3: F=(1,-1,1), Q=(2,0,2), P=(2,1,4) e T=(3,2,5)
Quais são os tamanhos das duas diagonais do paralelogramo?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3: F=(1,-1,1), Q=(2,0,2), P=(2,1,4) e T=(3,2,5), e pede os comprimentos das diagonais do paralelogramo formado por eles. Vamos usar operações com vetores (diferenças de pontos) para identificar lados e diagonais e depois aplicar a fórmula do comprimento de um vetor.

Passo 2

Definimos os vetores que correspondem a dois lados adjacentes do paralelogramo a partir de F:
FQ=Q-F=(2-1,;0-(-1),;2-1)=(1,1,1),
FP=P-F=(2-1,;1-(-1),;4-1)=(1,2,3)

Passo 3

Confirmamos que o ponto T fecha o paralelogramo, pois
F+FQ+FP =(1,-1,1)+(1,1,1)+(1,2,3)=(3,2,5)=T

Passo 4

Uma diagonal une F a T. O vetor diagonal é
FT=FQ+FP=(1,1,1)+(1,2,3)=(2,3,4)
Seu comprimento é
|FT| =raiz2^2+3^2+4^2 =raiz4+9+16 =raiz29

Passo 5

A outra diagonal une Q a P. O vetor diagonal é
QP=P-Q=(2-2,;1-0,;4-2)=(0,1,2),
e seu comprimento é
|QP| =raiz0^2+1^2+2^2 =raiz5

Resposta

Os comprimentos das diagonais são raiz29 e raiz5.

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