Dados os pontos A=(-2,-2) e B=(6,6) do plano cartesiano, determine o lugar geométrico de um ponto P que se move neste plano de tal modo que o coeficiente angular da reta que passa por A e P, acrescido de duas unidades, é igual ao coeficiente angular da reta que passa por B e P.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos fixos A=(-2,-2) e B=(6,6) e pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que o coeficiente angular da reta AP, somado a duas unidades, é igual ao coeficiente angular da reta BP. Vamos usar a fórmula do coeficiente angular e resolver uma equação.

Passo 2

O coeficiente angular de AP é
mAP = y - (-2)x - (-2) = y+2x+2,
e o de BP é
mBP = y - 6x - 6

Passo 3

A condição dada é
mAP + 2 = mBP
Substituindo,
y+2x+2 + 2 = y-6x-6
Reescrevendo o lado esquerdo sobre um único denominador,
y+2x+2 + 2 = y+2 + 2(x+2)x+2 = 2x + y + 6x+2

Passo 4

Fazendo a igualdade dos quocientes:
2x + y + 6x+2 = y-6x-6
e cruzando em produtos:
(2x + y + 6)(x - 6) = (y - 6)(x + 2)
Expandindo e simplificando ambos os lados resulta em
2x^2 -8y -24 = 0

Passo 5

Isolando y na equação acima,
2x^2 -8y -24 = 0 ;Longrightarrow; -8y = -2x^2 +24 ;Longrightarrow; y = 2x^2 -248 = x^24 -3
Observação: não podemos ter x=-2 nem x=6 (que anulariam denominadores), mas a equação geral do lugar geométrico é a parábola indicada.

Resposta

O lugar geométrico é a parábola
y = x^24 - 3

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