Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=(-1)^n nn^2+1

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = (-1)^n , nn^2+1
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo aplicado será o cálculo de limites de sequência racional e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Estudamos primeiro a sequência positiva de referência
bn = nn^2+1
Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, fazemos
limn to infty bn = limn to infty nn^2+1 = limn to infty 1n + 1/n = 0

Passo 3

Repare que para todo n vale
-,nn^2+1 ;<=; (-1)^n,nn^2+1 ;<=; nn^2+1
Como
limntoinfty l(-nn^2+1r) = 0 e limntoinfty nn^2+1 = 0,
pelo Teorema do Confronto concluímos
limn to infty an = 0

Passo 4

Logo, a sequência an converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 0

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