Seja R a região plana delimitada pelas curvas y^2-x^2=16 e y=5.
b) Apresente uma integral que expressa esta área.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
y^2-x^2=16
e
y=5
Este é um caso de cálculo de área por integração: vamos “fatiar” a região com retângulos verticais (cortes para x variando) e integrar a diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Para determinar os limites em x, achamos onde a reta y=5 corta a hipérbole:
5^2-x^2=16 Longrightarrow x^2=25-16=9 Longrightarrow x=pm 3
Portanto, verticalmente, a região vai de x=-3 até x=3.

Passo 3

Em cada xin[-3,3], o limite superior da região é a reta y=5 e o limite inferior é dado pela porção positiva da hipérbole
y=raizx^2+16
Logo, a “altura” de cada retângulo é
5-raizx^2+16

Passo 4

Assim, a área de R fica dada pela integral
A ;=;integralx=-3^3l(5-raizx^2+16r),dx

Resposta

A = integral-3^3l(5 - raizx^2+16r),dx

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