Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
∑_{n=2}^{∞} 2/(n^{2}-1)
∑_{n=2}^{∞} 2/(n^{2}-1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, temos que calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente séries que podem ser simplificadas usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
. Esse tipo de expressão pode ser fatorada no denominador. Sabemos que
. Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a técnica das frações parciais para simplificar essa expressão. Queremos escrever
como uma soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Vamos resolver para
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a série usando essa decomposição:
Isso nos leva a uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Simplificando:
Perceba que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante.
Passo 7
No final, restam apenas os primeiros termos que não têm com o que cancelar:
Então, a soma da série converge para:
Resposta
A série converge e a sua soma é
.