Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
∑_{n=2}^{∞} 2/(n^{2}-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=2^infty 2n^2-1 converge ou diverge. Se ela convergir, temos que calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente séries que podem ser simplificadas usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: 2n^2-1. Esse tipo de expressão pode ser fatorada no denominador. Sabemos que n^2-1 = (n-1)(n+1). Então, a fração fica:
2n^2-1 = 2(n-1)(n+1)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a técnica das frações parciais para simplificar essa expressão. Queremos escrever 2(n-1)(n+1) como uma soma de duas frações mais simples:
2(n-1)(n+1) = An-1 + Bn+1
Multiplicando ambos os lados por (n-1)(n+1), temos:
2 = A(n+1) + B(n-1)

Passo 4

Vamos resolver para A e B. Escolhemos valores de n que simplificam a equação:
  • Se n = 1:
2 = A(1+1) + B(1-1) Rightarrow 2 = 2A Rightarrow A = 1
  • Se n = -1:
2 = A(-1+1) + B(-1-1) Rightarrow 2 = -2B Rightarrow B = -1
Então, temos:
2n^2-1 = 1n-1 - 1n+1

Passo 5

Agora, vamos reescrever a série usando essa decomposição:
sumn=2^infty ( 1n-1 - 1n+1 )
Isso nos leva a uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
( 12-1 - 12+1 ) + ( 13-1 - 13+1 ) + ( 14-1 - 14+1 ) + dots
Simplificando:
( 1 - 13 ) + ( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + dots
Perceba que -13 cancela com +13, -14 cancela com +14, e assim por diante.

Passo 7

No final, restam apenas os primeiros termos que não têm com o que cancelar:
1 + 12
Então, a soma da série converge para:
1 + 12 = 32

Resposta

A série converge e a sua soma é 32.

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