Dados 8 pontos num mesmo plano, sendo que 5 deles pertencem a uma reta, 3 pertencem a outra e nenhum pertence às duas retas, responda:
a) Quantas retas eles determinam ?
b) Quantos triângulos eles determinam ?
a) Quantas retas eles determinam ?
b) Quantos triângulos eles determinam ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas respostas claras:
-
Informações dadas:
- Há
pontos no plano. -
desses pontos pertencem todos à mesma reta (vou chamar essa reta de ). -
dos pontos pertencem todos a outra reta (vou chamar essa reta de ). - Nenhum ponto pertence simultaneamente às duas retas
e (ou seja, as duas retas não compartilham nenhum dos pontos).
- Há
-
Perguntas:
a) Quantas retas essespontos determinam?
b) Quantos triângulos essespontos determinam?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma fórmula muito útil: o número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem ordem é
Isso serve para contar pares de pontos (
) ou trios de pontos (
). Vou usar isso em seguida para contar pares e trios.
Passo 3
Contagem total de pares de pontos (cada par de pontos determina uma reta, possivelmente repetida se muitos pares caírem na mesma reta):
Se todos os pares gerassem retas diferentes, teríamos
retas, mas há colinearidades que fazem vários pares gerarem a mesma reta.
Passo 4
Pares que estão dentro da mesma reta
: entre os
pontos colineares há
pares. Todos esses
pares não geram
retas diferentes: todos geram a mesma reta
. Portanto esses
pares correspondem a apenas
reta efetiva, ou seja há
contagens redundantes a serem removidas se quisermos contar retas distintas.
Passo 5
Pares que estão dentro da mesma reta
: entre os
pontos colineares há
pares. Todos os
pares geram a mesma reta
. Assim há
contagens redundantes a remover.
Passo 6
Pares “mistos” formados por um ponto de
e um ponto de
: existem
tais pares. Importante: cada um desses pares determina uma reta distinta. Explicando por que: suponha que dois pares distintos
e
(com
em
e
em
) gerassem a mesma reta. Essa reta conteria dois pontos de
(logo seria
) e ao mesmo tempo conteria um ponto de
, o que implicaria que esse ponto de
também pertence a
— mas isso contraria a hipótese de que nenhum ponto pertence às duas retas. Logo, não há colisão: os
pares mistos geram
retas distintas.
Passo 7
Agora juntamos tudo para obter o número total de retas distintas:
- A reta
conta como . - A reta
conta como . - As
retas que ligam um ponto de a um ponto de são todas distintas.
Portanto o total é
(Verificação alternativa:
pares totais menos as
redundâncias em
e menos as
redundâncias em
dá
.)
Passo 8
Agora contamos triângulos. Um triângulo é determinado por três pontos não colineares. Começamos pelo total de trios de pontos:
Desses
trios, devemos subtrair os trios que são colineares (pois não formam triângulos).
Passo 9
Trios colineares possíveis:
- Três pontos todos em
: há
trios colineares nessa reta.
- Três pontos todos em
: há
trio colinear nessa reta.
Não existe outro trio colinear com base nas hipóteses (qualquer trio que misture pontos de e
não será colinear pelos mesmos argumentos usados antes).
Não existe outro trio colinear com base nas hipóteses (qualquer trio que misture pontos de
Passo 10
Portanto o número de triângulos é o total de trios menos os trios colineares:
Resposta
a)
b)
b)