Dados 8 pontos num mesmo plano, sendo que 5 deles pertencem a uma reta, 3 pertencem a outra e nenhum pertence às duas retas, responda:
a) Quantas retas eles determinam ?
b) Quantos triângulos eles determinam ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas respostas claras:
  • Informações dadas:
    • 8 pontos no plano.
    • 5 desses pontos pertencem todos à mesma reta (vou chamar essa reta de r_1).
    • 3 dos pontos pertencem todos a outra reta (vou chamar essa reta de r_2).
    • Nenhum ponto pertence simultaneamente às duas retas r_1 e r_2 (ou seja, as duas retas não compartilham nenhum dos 8 pontos).
  • Perguntas:
    a) Quantas retas esses 8 pontos determinam?
    b) Quantos triângulos esses 8 pontos determinam?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula muito útil: o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem ordem é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Isso serve para contar pares de pontos ( k=2) ou trios de pontos ( k=3). Vou usar isso em seguida para contar pares e trios.

Passo 3

Contagem total de pares de pontos (cada par de pontos determina uma reta, possivelmente repetida se muitos pares caírem na mesma reta):
\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28.
Se todos os pares gerassem retas diferentes, teríamos 28 retas, mas há colinearidades que fazem vários pares gerarem a mesma reta.

Passo 4

Pares que estão dentro da mesma reta r_1: entre os 5 pontos colineares há
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2}=10
pares. Todos esses 10 pares não geram 10 retas diferentes: todos geram a mesma reta r_1. Portanto esses 10 pares correspondem a apenas 1 reta efetiva, ou seja há 10-1=9 contagens redundantes a serem removidas se quisermos contar retas distintas.

Passo 5

Pares que estão dentro da mesma reta r_2: entre os 3 pontos colineares há
\binom{3}{2}=\frac{3\cdot2}{2}=3
pares. Todos os 3 pares geram a mesma reta r_2. Assim há 3-1=2 contagens redundantes a remover.

Passo 6

Pares “mistos” formados por um ponto de r_1 e um ponto de r_2: existem
5\times 3 = 15
tais pares. Importante: cada um desses pares determina uma reta distinta. Explicando por que: suponha que dois pares distintos (A_i,B_j) e (A_k,B_\ell) (com A_i,A_k em r_1 e B_j,B_\ell em r_2) gerassem a mesma reta. Essa reta conteria dois pontos de r_1 (logo seria r_1) e ao mesmo tempo conteria um ponto de r_2, o que implicaria que esse ponto de r_2 também pertence a r_1 — mas isso contraria a hipótese de que nenhum ponto pertence às duas retas. Logo, não há colisão: os 15 pares mistos geram 15 retas distintas.

Passo 7

Agora juntamos tudo para obter o número total de retas distintas:
  • A reta r_1 conta como 1.
  • A reta r_2 conta como 1.
  • As 15 retas que ligam um ponto de r_1 a um ponto de r_2 são todas distintas.
    Portanto o total é
1 + 1 + 15 = 17.
(Verificação alternativa: 28 pares totais menos as 9 redundâncias em r_1 e menos as 2 redundâncias em r_2 28-9-2=17.)

Passo 8

Agora contamos triângulos. Um triângulo é determinado por três pontos não colineares. Começamos pelo total de trios de pontos:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
Desses 56 trios, devemos subtrair os trios que são colineares (pois não formam triângulos).

Passo 9

Trios colineares possíveis:
  • Três pontos todos em r_1: há
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{6}=10
trios colineares nessa reta.
  • Três pontos todos em r_2: há
\binom{3}{3}=1
trio colinear nessa reta.
Não existe outro trio colinear com base nas hipóteses (qualquer trio que misture pontos de r_1 e r_2 não será colinear pelos mesmos argumentos usados antes).

Passo 10

Portanto o número de triângulos é o total de trios menos os trios colineares:
56 - 10 - 1 = 45.

Resposta

a) 17
b) 45

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