De quantos modos podemos dividir 5 alunos em um grupo de 3 alunos e outro de 2 alunos ?
Passo 1
O enunciado pede: de quantos modos podemos dividir 5 alunos em um grupo de 3 alunos e outro de 2 alunos?
Informações dadas: temos alunos no total; queremos formar um grupo com
alunos e o outro com
alunos. Não há mais informações (por ex., nomes, rótulos especiais), só o que foi dito acima.
Informações dadas: temos
Passo 2
Ideia básica (sem calcular ainda): se eu escolher quais são os
alunos que vão ficar no grupo de
, os
restantes formam automaticamente o grupo de
. Então o problema se reduz a: de quantas maneiras escolho
pessoas dentre
? Esse tipo de escolha sem ordem é contado pelas combinações.
Passo 3
Fórmula das combinações: o número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem se importar com a ordem é dado por
Aqui
(fatorial de
) significa
. Por exemplo,
e
. Essa fórmula tira a ordem (dividindo por
) e considera apenas as escolhas diferentes.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso: queremos escolher
dentre
, então
Calcule passo a passo:
,
,
. Assim
Uma forma mais rápida que costuma aparecer na prova é simplificar antes:
Passo 5
Observação útil: também poderíamos escolher primeiro o grupo de
; o número de maneiras seria
. Pela propriedade de simetria das combinações,
o que confirma o cálculo. Isso é prático na prova: às vezes calcular
é mais simples.
Passo 6
Esclarecendo uma possível dúvida de prova: não precisamos dividir o resultado por
(ou seja, não precisamos “remover” permutações dos dois grupos) porque os grupos têm tamanhos diferentes (
e
) — então já são distinguíveis pelo tamanho. Se os dois grupos tivessem o mesmo tamanho, aí sim teríamos que corrigir por permutações idênticas dos blocos (por exemplo, dividir por
quando formamos duas partes iguais).
Passo 7
Conclusão prática para a prova: o número de formas distintas de dividir os
alunos em um grupo de
e outro de
é
. Vai dar certo na prova — respira e confia no raciocínio!