De quantos modos podemos dividir 5 alunos em um grupo de 3 alunos e outro de 2 alunos ?

Passo 1

O enunciado pede: de quantos modos podemos dividir 5 alunos em um grupo de 3 alunos e outro de 2 alunos?
Informações dadas: temos 5 alunos no total; queremos formar um grupo com 3 alunos e o outro com 2 alunos. Não há mais informações (por ex., nomes, rótulos especiais), só o que foi dito acima.

Passo 2

Ideia básica (sem calcular ainda): se eu escolher quais são os 3 alunos que vão ficar no grupo de 3, os 2 restantes formam automaticamente o grupo de 2. Então o problema se reduz a: de quantas maneiras escolho 3 pessoas dentre 5? Esse tipo de escolha sem ordem é contado pelas combinações.

Passo 3

Fórmula das combinações: o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem se importar com a ordem é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! (fatorial de n) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1. Por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6 e 2!=2\cdot1=2. Essa fórmula tira a ordem (dividindo por k!) e considera apenas as escolhas diferentes.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: queremos escolher 3 dentre 5, então
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}.
Calcule passo a passo: 5!=120, 3!=6, 2!=2. Assim
\binom{5}{3}=\frac{120}{6\cdot2}=\frac{120}{12}=10.
Uma forma mais rápida que costuma aparecer na prova é simplificar antes:
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.

Passo 5

Observação útil: também poderíamos escolher primeiro o grupo de 2; o número de maneiras seria \binom{5}{2}. Pela propriedade de simetria das combinações,
\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10,
o que confirma o cálculo. Isso é prático na prova: às vezes calcular \binom{n}{n-k} é mais simples.

Passo 6

Esclarecendo uma possível dúvida de prova: não precisamos dividir o resultado por 2! (ou seja, não precisamos “remover” permutações dos dois grupos) porque os grupos têm tamanhos diferentes ( 3 e 2) — então já são distinguíveis pelo tamanho. Se os dois grupos tivessem o mesmo tamanho, aí sim teríamos que corrigir por permutações idênticas dos blocos (por exemplo, dividir por 2! quando formamos duas partes iguais).

Passo 7

Conclusão prática para a prova: o número de formas distintas de dividir os 5 alunos em um grupo de 3 e outro de 2 é \binom{5}{3}=10. Vai dar certo na prova — respira e confia no raciocínio!

Resposta

10

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