Dados os pontos R=(1,-raiz2) e S=(-2, raiz2)
(a) Encontrar as coordenadas do vetor que tem origem no ponto R e o extremos no ponto S.
(b) Encontrar o ponto medio do segmento R S.
(c) Achar o comprimento do segmento R S.
(d) Encontrar o ângulo que formam os vetores u=(2,8) com R S.
(e) Encontrar o ponto P tal que u=R P.
(f) Encontrar o ponto Q tal que R Q=u+R S.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
R=(1,,-raiz2), S=(-2,,raiz2)
e o vetor
vec u=(2,8)
Vamos usar:
– para (a) subtrair coordenadas para obter RS;
– para (b) a fórmula do ponto médio;
– para (c) a norma de um vetor no plano;
– para (d) a definição de produto escalar e a fórmula
costheta=vec ucdotRS|vec u|;|RS|;
– para (e) e (f) soma de vetores e translação de ponto.

Passo 2

Para (a),
RS=S-R=l(-2-1,;raiz2-(-raiz2)r)=(-3,;2raiz2)

Passo 3

Para (b), o ponto médio M de RS é
M=l(1+(-2)2,;-raiz2+raiz22r)=l(-tfrac12,,0r)

Passo 4

Para (c), o comprimento de RS é
|RS|=raiz(-3)^2+(2raiz2)^2 =raiz9+8 =raiz17

Passo 5

Para (d), primeiro o produto escalar
vec ucdotRS =2cdot(-3)+8cdot(2raiz2) =-6+16raiz2
As normas são
|vec u|=raiz2^2+8^2=raiz68=2raiz17, |RS|=raiz17
Logo
costheta =-6+16raiz22raiz17,raiz17 =16raiz2-634 =8raiz2-317,
theta=arccos!l(tfrac8raiz2-317r) approx61,7^circ

Passo 6

Para (e), queremos P tal que RP=vec u. Então
P=R+vec u =(1,, -raiz2)+(2,8) =(3,,8-raiz2)

Passo 7

Para (f), RQ=vec u+RS. Calculamos
vec u+RS =(2,8)+(-3,2raiz2) =(-1,,8+2raiz2),
e então
Q=R+(vec u+RS) =(1,, -raiz2)+(-1,,8+2raiz2) =(0,,8+raiz2)

Resposta

(a) RS=(-3,;2raiz2)
(b) M=l(-tfrac12,,0r)
(c) |RS|=raiz17
(d) theta=arccos!l(tfrac8raiz2-317r)approx61,7^circ
(e) P=(3,,8-raiz2)
(f) Q=(0,,8+raiz2)

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