Dados os pontos A, B, C e D e uma reta r que não contém nenhum deles. Se os segmentos A B e C D cortam a reta r e o segmento B C não a corta, mostre que o segmento A D também não a corta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre quatro pontos A, B, C e D e uma reta r . A reta r não passa por nenhum desses pontos. Sabemos que os segmentos AB e CD cruzam a reta r , mas o segmento BC não cruza r . Nosso objetivo é mostrar que o segmento AD também não cruza a reta r .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como interseção de segmentos com retas e a ideia de orientação dos pontos em relação à reta r .

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a reta r como o eixo dos x em um sistema de coordenadas para facilitar. Assim, podemos estabelecer que a reta r é a linha y = 0 .
Os pontos A, B, C e D estão fora de r , ou seja, eles têm coordenadas com y neq 0 .

Passo 3

Como os segmentos AB e CD cruzam a reta r , isso significa que os pontos A e B estão em lados opostos da reta r . O mesmo vale para os pontos C e D .
Matematicamente, podemos dizer que:
yA cdot yB < 0 e yC cdot yD < 0
Isso indica que A e B estão em lados opostos da reta r , e o mesmo para C e D .

Passo 4

Agora, vamos analisar o segmento BC . A questão nos diz que ele não cruza a reta r . Isso significa que B e C estão no mesmo lado da reta r .
Ou seja:
yB cdot yC > 0
Isso mostra que B e C têm sinais de coordenadas y iguais, ambos positivos ou ambos negativos.

Passo 5

Com base nas informações anteriores, sabemos que:
yA cdot yB < 0 e yC cdot yD < 0 e yB cdot yC > 0
Isso implica que A e D estão no mesmo lado da reta r .
Porque se yA e yB têm sinais opostos, e yB e yC têm o mesmo sinal, então yA e yC têm sinais opostos. Mas como yC e yD têm sinais opostos, yA e yD acabam tendo sinais iguais.

Passo 6

Como yA e yD têm sinais iguais, isso significa que os pontos A e D estão do mesmo lado da reta r . Portanto, o segmento AD não cruza a reta r , já que ambos os pontos estão do mesmo lado.

Resposta

O segmento AD não cruza a reta r .

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