Sejam A B e C D segmentos e E um ponto, tais que A B cap C D=E. Mostre que a reta que contém A B não pode conter C D.

Passo 1

O enunciado dá dois segmentos AB e CD no plano e um ponto E tais que
ABcapCD = E
Queremos mostrar que a reta que contém AB não pode conter CD. O conteúdo usado será noção de colinearidade e do axioma de Betweenness (pontos entre outros numa reta).

Passo 2

Suponha, por contradição, que a reta ell que contém AB também contém CD. Então todos os pontos A,B,C,D,E são colineares em ell.

Passo 3

Como ABcapCD=E, o ponto E não é extremo apenas de um dos segmentos, mas está interior tanto a AB quanto a CD. Pelo axioma de Betweenness, isso significa que E separa A e B, e também separa C e D. Logo A e B estão em semirretas opostas de ell a partir de E, assim como C e D.

Passo 4

Só existem duas semirretas em ell com origem em E. Portanto um dos extremos de CD, digamos C, fica na mesma semirreta de E que A. Então, numa ordem colinear, temos
A;;C;;E
ou seja, C está estritamente entre A e E. Pelo axioma de Betweenness, isso implica CinAB. Mas também CinCD, logo
CinABcapCD,
contrariando ABcapCD=E (pois Cneq E).

Passo 5

A contradição mostra que a hipótese de que ell contém CD é falsa. Logo a reta que contém AB não pode conter CD.

Resposta

A reta que contém AB não pode conter CD.

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