Dados os pontos a seguir, encontre a equação da reta por cada par de pontos e ache o ângulo que cada uma faz com o eixo y.
(f) (raiz2, 2) e (1, raiz3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (raiz2, 2) e (1, raiz3) e também descobrir o ângulo que essa reta forma com o eixo y. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da reta e o cálculo de ângulos entre retas e eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa pelos dois pontos dados. A inclinação m de uma reta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por:
m = y2 - y1x2 - x1

Passo 3

Aplicando os valores dos pontos fornecidos:
x1 = raiz2, y1 = 2
x2 = 1, y2 = raiz3
Substituindo na fórmula:
m = raiz3 - 21 - raiz2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para m. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar:
m = (raiz3 - 2)(1 + raiz2)(1 - raiz2)(1 + raiz2)
No denominador, usamos a diferença de quadrados:
(1 - raiz2)(1 + raiz2) = 1 - (raiz2)^2 = 1 - 2 = -1
No numerador:
(raiz3 - 2)(1 + raiz2) = raiz3 cdot 1 + raiz3 cdot raiz2 - 2 cdot 1 - 2 cdot raiz2 = raiz3 + raiz6 - 2 - 2raiz2
Então:
m = raiz3 + raiz6 - 2 - 2raiz2-1 = -raiz3 - raiz6 + 2 + 2raiz2

Passo 5

Agora, com a inclinação m encontrada, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Vamos usar o ponto (raiz2, 2):
y - 2 = m(x - raiz2)
Substituindo m:
y - 2 = (-raiz3 - raiz6 + 2 + 2raiz2)(x - raiz2)

Passo 6

Simplificando a equação:
y = (-raiz3 - raiz6 + 2 + 2raiz2)x + (raiz3 + raiz6 - 2 - 2raiz2)raiz2 + 2
Isso representa a equação da reta que passa pelos pontos dados.

Passo 7

Agora, vamos encontrar o ângulo que essa reta faz com o eixo y. Sabemos que o ângulo theta entre uma reta com inclinação m e o eixo y pode ser encontrado usando a tangente do ângulo complementar:
theta = arctan(1m)

Passo 8

Calculando theta:
theta = arctan(1-raiz3 - raiz6 + 2 + 2raiz2)
Esse valor nos dará o ângulo que a reta forma com o eixo y.

Resposta

A equação da reta que passa pelos pontos (raiz2, 2) e (1, raiz3) é
y = (-raiz3 - raiz6 + 2 + 2raiz2)x + (raiz3 + raiz6 - 2 - 2raiz2)raiz2 + 2
E o ângulo que essa reta faz com o eixo y é
theta = arctan(1-raiz3 - raiz6 + 2 + 2raiz2).

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