Dados os pontos A=(1,2,1) e B=(3,0,-1), verifique se são concorrentes as retas A B e r: X= (3,0,-1)+lambda(1,1,1). Se forem, obtenha o ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas AB e
r: X = (3,0,-1) + lambda,(1,1,1)
são concorrentes no espaço e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção.
Conteúdo: geometria analítica no espaço, interseção de retas por parametrização.

Passo 2

Construímos a forma paramétrica da reta AB. O vetor diretor de AB é
AB = B - A = (3,0,-1) - (1,2,1) = (2,-2,-2)
Logo
AB:;X = A + t,AB ;Longrightarrow; X = (1,2,1) + t,(2,-2,-2)

Passo 3

Reescrevendo a reta r conforme dado:
r:;X = (3,0,-1) + lambda,(1,1,1)

Passo 4

Para haver interseção, deve existir (t,lambda) tais que
(1+2t,;2-2t,;1-2t) = (3+lambda,;0+lambda,;-1+lambda)
Isto gera o sistema
1 + 2t = 3 + lambda, 2 - 2t = lambda, 1 - 2t = -1 + lambda

Passo 5

Da segunda equação vem
lambda = 2 - 2t
Substituindo na primeira:
1 + 2t = 3 + (2 - 2t) ;Longrightarrow; 1 + 2t = 5 - 2t ;Longrightarrow; 4t = 4 ;Longrightarrow; t = 1
Então lambda = 2 - 2cdot1 = 0. Verificando na terceira:
1 - 2cdot1 = -1 + 0 ;Longrightarrow; -1 = -1,
logo consistente.

Passo 6

Como t=1, o ponto de interseção é
X = (1,2,1) + 1,(2,-2,-2) = (3,0,-1)

Passo 7

Conclusão: as retas são concorrentes e se intersectam exatamente no ponto (3,0,-1).

Resposta

As retas são concorrentes e o ponto de interseção é (3,0,-1).

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