Obtenha uma equação vetorial da reta r a partir de suas equações planares.
(a) lx+2 y+3 z-1=0 x-y+2 z=0
(b) lx+y+z-1=0 x+y-z=0
(c) lx=3 2 x-z+1=0
(d) ly=2 z=0
(e) r: x-13=y-53=z+25 s: x=-y=z-14
(f) r: X=(8,1,9)+lambda(2,-1,3) s: X=(3,-4,4)+ lambda(1,-2,2)

Passo 1

O enunciado pede para obtermos a forma vetorial de retas dadas por dois planos ou em outras representações. Quando temos duas equações planas
A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0,
os passos são:
1. Calcular o vetor direcional v como
v=(A1,B1,C1)times(A2,B2,C2)
2. Achar um ponto particular P0 que satisfaça ambas as equações (por exemplo, fixando uma das coordenadas e resolvendo o sistema).
A partir de P0 e v a reta fica
X=P0 + t,v

Passo 2

Item (a): interseção de
Normais
Tomando , resolvemos
( \Rightarrow (x,y)=(\tfrac13,\tfrac13)].

Passo 3

Item (b): interseção de
x+y+z-1=0, x+y-z=0
Normais n1=(1,1,1), n2=(1,1,-1).
v=n1timesn2=(-2,2,0)
Somando e subtraindo as equações vêm z=tfrac12 e x+y=tfrac12. Tomando y=0 x=tfrac12.

Passo 4

Item (c):
x=3, 2x-z+1=0
De x=3 e 2cdot3-z+1=0 segue z=7. A coordenada y é livre, logo vetor direcional v=(0,1,0).

Passo 5

Item (d):
y=2, z=0
Sobram x livre, direção v=(1,0,0) e ponto particular (0,2,0).

Passo 6

Item (e): retas dadas em forma simétrica.
r: x-13=y-53=z+25=t Rightarrow x=1+3t,;y=5+3t,;z=-2+5t. Vetor direcional (3,3,5), ponto (1,5,-2).
s: x=-y=z-14=s Rightarrow x=s,;y=-s,;z=1+4s. Vetor direcional (1,-1,4), ponto (0,0,1).

Passo 7

Item (f): já estão em forma vetorial:
r:X=(8,1,9)+lambda(2,-1,3), s:X=(3,-4,4)+lambda(1,-2,2)

Resposta

(a) X=l(tfrac13,tfrac13,0r)+t,(7,1,-3).
(b) X=l(tfrac12,0,tfrac12r)+t,(-2,2,0).
(c) X=(3,0,7)+t,(0,1,0).
(d) X=(0,2,0)+t,(1,0,0).
(e); r:X=(1,5,-2)+t,(3,3,5), s:X=(0,0,1)+s,(1,-1,4).
(f); r:X=(8,1,9)+lambda,(2,-1,3), s:X=(3,-4,4)+lambda,(1,-2,2).

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