Dados os pontos A(2,1,-3), B(1,-1,2) e (0,1,4) e os vetores u=(1,2,2) e v= (3,-1,-2), obter o vetor x tal que: 2 x+3 v=x+(A B cdot u) v (Valor: 1,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de vetores aqui! A gente tem os pontos A(2,1,-3) , B(1,-1,2) e outro ponto que não foi nomeado, mas não vai atrapalhar. Também temos os vetores u = (1,2,2) e v = (3,-1,-2) . A tarefa é encontrar o vetor x que satisfaz a equação:
2x + 3v = x + (AB cdot u)v
Para isso, vamos precisar entender de vetores, operações de subtração de pontos para encontrar vetores entre eles, produto escalar e resolução de equações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB . Isso significa subtrair as coordenadas de A das coordenadas de B :
AB = B - A = (1-2,, -1-1,, 2-(-3)) = (-1, -2, 5)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto escalar de AB com u . O produto escalar é a soma das multiplicações das componentes correspondentes:
AB cdot u = (-1)(1) + (-2)(2) + (5)(2) = -1 -4 +10 = 5

Passo 4

Substituindo na equação original:
2x + 3v = x + 5v
Vamos isolar x . Para isso, subtraímos x de ambos os lados:
2x - x + 3v = 5v
x + 3v = 5v
Agora, subtraímos 3v de ambos os lados:
x = 5v - 3v
x = 2v

Passo 5

Finalmente, multiplicamos o vetor v por 2:
x = 2 times (3, -1, -2) = (6, -2, -4)

Resposta

O vetor procurado é x = (6, -2, -4) .

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