Para os vetores indicados em cada item, determinar as operações correspondentes:
a) Dados u=-3 i+4 j, v=5 i-7 j e w=i-j, determinar:
c 23 u-3 v+4 w |u|+|v+w|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três vetores no plano:
  • u = -3i + 4j
  • v = 5i - 7j
  • w = i - j
O que a gente precisa fazer aqui é realizar duas operações:
  1. Combinar esses vetores usando multiplicação escalar e soma: 23 u - 3 v + 4 w
  2. Calcular a soma das magnitudes dos vetores u e v + w
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, como combinação linear e cálculo de magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a combinação linear 23 u - 3 v + 4 w. Isso significa que vamos multiplicar cada vetor pelo escalar correspondente e depois somar os resultados.
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. 23 u = 23 (-3i + 4j) = ( 23 times -3 )i + ( 23 times 4 )j = -2i + 83j
  2. -3 v = -3 (5i - 7j) = (-3 times 5)i + (-3 times -7)j = -15i + 21j
  3. 4 w = 4 (i - j) = 4i - 4j

Passo 3

Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
-2i + 83j -15i + 21j + 4i - 4j
Somando as componentes i:
-2 - 15 + 4 = -13
E as componentes j:
83 + 21 - 4 = 83 + 17 = 83 + 513 = 593
Então, a combinação linear fica:
-13i + 593j

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude dos vetores. A magnitude de um vetor a = axi + ayj é dada por:
|a| = raizax^2 + ay^2
Primeiro, vamos calcular |u|:
|u| = raiz(-3)^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular v + w:
v + w = (5i - 7j) + (i - j) = (5 + 1)i + (-7 - 1)j = 6i - 8j
Agora, vamos calcular a magnitude dessa soma:
|v + w| = raiz6^2 + (-8)^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10

Passo 6

Finalmente, somamos as magnitudes que calculamos:
|u| + |v + w| = 5 + 10 = 15

Resposta

A combinação linear 23 u - 3 v + 4 w resulta no vetor -13i + 593j e a soma das magnitudes |u| + |v + w| é igual a 15.

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