Nos itens seguintes determinar:
a) O vetor v, paralelo ao vetor u=(4,-2,6), tal que v cdot u=-21

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor v que é paralelo ao vetor u = (4, -2, 6) e que satisfaça a condição v cdot u = -21. Então, estamos trabalhando com conceitos de vetores paralelos e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores paralelos se relacionam e como calcular o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Dois vetores são paralelos se um é um múltiplo escalar do outro. Ou seja, se v é paralelo a u, podemos escrever:
v = k cdot u
onde k é um número real (o escalar).

Passo 3

Agora, precisamos usar a condição dada no problema: o produto escalar entre v e u é igual a -21. Vamos substituir v por k cdot u na expressão do produto escalar:
v cdot u = (k cdot u) cdot u = k cdot (u cdot u) = -21

Passo 4

Vamos calcular u cdot u, que é o produto escalar de u consigo mesmo:
u cdot u = 4^2 + (-2)^2 + 6^2 = 16 + 4 + 36 = 56

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
k cdot 56 = -21
Para encontrar k, basta dividir ambos os lados por 56:
k = -2156 = -38

Passo 6

Agora que encontramos o valor de k, podemos determinar o vetor v:
v = k cdot u = -38 cdot (4, -2, 6) = ( -38 cdot 4, -38 cdot (-2), -38 cdot 6 )
Calculando cada componente:
v = ( -128, 68, -188 ) = ( -32, 34, -94 )

Resposta

O vetor v é ( -dfrac32, dfrac34, -dfrac94 ).

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