Dados os pontos A(4, 0, -1) e B(2,-2, 1) e os vetores ū= (2, 1, 1) ev = (-1, -2, 3),
o vetor i tal que 3x + 2ū = ž +(AB • ū) v é:
o vetor i tal que 3x + 2ū = ž +(AB • ū) v é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores e envolve algumas operações entre eles, como produto escalar. Precisamos encontrar o vetor i que satisfaz a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar dos pontos A e B para determinar o vetor AB, utilizar os vetores fornecidos ū e ev, e aplicar o produto escalar entre AB e ū.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Sabemos que para dois pontos $ A(x_1, y_1, z_1) $ e $ B(x_2, y_2, z_2) $, o vetor $ \overrightarrow{AB} $ é dado por:
No nosso caso, $ A(4, 0, -1) $ e $ B(2, -2, 1) $, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{u} $. Lembrando que o produto escalar de dois vetores $ \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3) $ e $ \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3) $ é:
Então, para $ \overrightarrow{AB} = (-2, -2, 2) $ e $ \overrightarrow{u} = (2, 1, 1) $:
Passo 4
Vamos substituir os valores na equação dada:
Sabemos que $ \overrightarrow{v} = (-1, -2, 3) $ e $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u} = -4 $, então:
Calculando os produtos:
Agora, vamos isolar $ 3\overrightarrow{i} $:
Subtraindo os vetores:
Passo 5
Agora, vamos expressar todos os vetores em termos das componentes unitárias. Supondo que $ \overrightarrow{k} = (0, 0, 1) $, temos:
Finalmente, para encontrar $ \overrightarrow{i} $, dividimos cada componente por 3:
Resposta
O vetor $ \overrightarrow{i} $ é $ \left(0, 2, -\dfrac{13}{3}\right) $.