A medida da altura de um trapézio cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(11, 3), C(7, 5) e D(2, 4), é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um trapézio cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(11, 3), C(7, 5) e D(2, 4). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a altura desse trapézio. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como coordenadas de pontos, equações de retas e a fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais lados do trapézio são as bases, ou seja, as retas paralelas. Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular de cada lado. O coeficiente angular (m) de uma reta que passa pelos pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dado por:
m = y₂ - y₁x₂ - x₁
Vamos calcular para cada lado:
  • Lado AB: de A(1, 1) a B(11, 3)
mAB = 3 - 111 - 1 = 210 = 0,2
  • Lado BC: de B(11, 3) a C(7, 5)
mBC = 5 - 37 - 11 = 2-4 = -0,5
  • Lado CD: de C(7, 5) a D(2, 4)
mCD = 4 - 52 - 7 = -1-5 = 0,2
  • Lado DA: de D(2, 4) a A(1, 1)
mDA = 1 - 41 - 2 = -3-1 = 3
Observamos que os lados AB e CD têm o mesmo coeficiente angular (0,2), o que significa que eles são paralelos. Portanto, são as bases do trapézio.

Passo 3

Agora que identificamos as bases paralelas AB e CD, vamos encontrar a equação dessas duas retas. A equação de uma reta na forma reduzida é:
y = m x + b
Onde m é o coeficiente angular e b é o termo de ordem.
Vamos encontrar a equação de AB e CD:
  • Equação de AB:
Sabemos que A(1, 1) está na reta AB e m = 0,2.
Substituindo na equação:
1 = 0,2 times 1 + b 1 = 0,2 + b b = 1 - 0,2 b = 0,8
Então, a equação de AB é:
y = 0,2x + 0,8
  • Equação de CD:
Sabemos que C(7, 5) está na reta CD e m = 0,2.
Substituindo na equação:
5 = 0,2 times 7 + b 5 = 1,4 + b b = 5 - 1,4 b = 3,6
Então, a equação de CD é:
y = 0,2x + 3,6

Passo 4

Para encontrar a altura do trapézio, precisamos calcular a distância entre as duas retas paralelas AB e CD. A fórmula para a distância (h) entre duas retas paralelas da forma $ y = m x + b_1 $ e $ y = m x + b_2 $ é:
y = m x + b1
Aqui, temos:
  • $ m = 0,2 $
  • $ b_1 = 0,8 $ (da reta AB)
  • $ b_2 = 3,6 $ (da reta CD)
Substituindo na fórmula:
y = m x + b2

Resposta

A altura do trapézio é aproximadamente 2,75 unidades.

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