Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2 a+b e b–a, sendo a=(3,-1,-2) e b=(1,0,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal (ou perpendicular) a dois outros vetores, que são 2a + b e b - a. Os vetores a e b são dados por a = (3, -1, -2) e b = (1, 0, -3). Para isso, vamos usar a ideia de produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores 2a + b e b - a.
Calculando 2a + b:
2a = 2 times (3, -1, -2) = (6, -2, -4)
2a + b = (6, -2, -4) + (1, 0, -3) = (7, -2, -7)
Calculando b - a:
b - a = (1, 0, -3) - (3, -1, -2) = (-2, 1, -1)

Passo 3

Agora que temos os dois vetores, u = (7, -2, -7) e v = (-2, 1, -1), vamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos. Para isso, usamos o produto vetorial, que é definido por:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, ; u3 v1 - u1 v3, ; u1 v2 - u2 v1 )
onde u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3).

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula do produto vetorial aos nossos vetores u e v:
u times v = ( (-2)(-1) - (-7)(1), ; (-7)(-2) - (7)(-1), ; (7)(1) - (-2)(-2) )
Calculando cada componente:
Componente x: (-2)(-1) - (-7)(1) = 2 + 7 = 9
Componente y: (-7)(-2) - (7)(-1) = 14 + 7 = 21
Componente z: (7)(1) - (-2)(-2) = 7 - 4 = 3

Resposta

O vetor ortogonal simultaneamente a 2a + b e b - a é v = (9, 21, 3).

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