Determine a derivada direcional da função f ( x , y ) = 2 x 2 y + 5 , na direção do vetor ( √ 3 2 , − 1 2 ) no ponto (x,y) = (1,1).
Passo 1
Vamos resolver um exercício de derivada direcional. A função dada é $ f(x, y) = 2x^2y + 5 $ e precisamos encontrar a derivada na direção do vetor $ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) $ no ponto $ (1, 1) $. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e usar o vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de $ f $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (1, 1) $:
Passo 4
Em seguida, precisamos garantir que o vetor de direção seja um vetor unitário. O vetor dado é $ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) $.
Vamos verificar o comprimento desse vetor:
Então, o vetor já é unitário.
Passo 5
A derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f $ é o produto escalar do gradiente de $ f $ com o vetor de direção $ \mathbf{u} $:
Resposta
A derivada direcional é $ 2\sqrt{3} - 1 $.