Determine a derivada direcional da função f ( x , y ) = 2 x 2 y + 5 , na direção do vetor ( √ 3 2 , − 1 2 ) no ponto (x,y) = (1,1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivada direcional. A função dada é $ f(x, y) = 2x^2y + 5 $ e precisamos encontrar a derivada na direção do vetor $ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) $ no ponto $ (1, 1) $. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e usar o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
f(x, y)
Calculando as derivadas parciais:
f
x
Então, o gradiente de $ f $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (1, 1) $:
(1, 1)

Passo 4

Em seguida, precisamos garantir que o vetor de direção seja um vetor unitário. O vetor dado é $ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) $.
Vamos verificar o comprimento desse vetor:
( raiz32, -12 )
Então, o vetor já é unitário.

Passo 5

A derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f $ é o produto escalar do gradiente de $ f $ com o vetor de direção $ \mathbf{u} $:
Du f

Resposta

A derivada direcional é $ 2\sqrt{3} - 1 $.

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