Dados 2 processos
e
onde
é uniformemente distribuída entre
e
.
(a) Encontre a média
(b) Encontre a covariância de
(c) Encontre a covariância cruzada,
(a) Encontre a média
(b) Encontre a covariância de
(c) Encontre a covariância cruzada,
Passo 1
O enunciado dá duas funções estocásticas (processos) dependentes de uma variável aleatória
:
onde
é uniforme em
. As perguntas são:
(a) encontrar a média ;
(b) encontrar a covariância de ,
;
(c) encontrar a covariância cruzada .
(a) encontrar a média
(b) encontrar a covariância de
(c) encontrar a covariância cruzada
Informações relevantes dadas:
-
com densidade para . -
é uma constante (frequência), são instantes de tempo. - Para variáveis com média zero, a covariância simplifica para
.
Passo 2
Definimos expectativa em função de
. A média de
é
Substituindo
obtemos
Para calcular essa integral, fazemos a observação simples: a integral de
em um intervalo simétrico de comprimento
é zero, ou calcular diretamente a primitiva:
logo
Usando
e
, o resultado é
. Portanto
.
Comentário didático curto: intuitivamente,
uniforme “faz rodar” o cosseno por todos os ângulos, e as partes positivas e negativas se cancelam.
Passo 3
Agora calculamos
. Primeiro escrevemos o produto:
Usamos a identidade trigonométrica (que vem de fórmulas de soma e diferença):
Aplicando com
e
obtemos
Agora tiramos esperança em
:
A primeira parcela
independe de
, então sua esperança é ela mesma. A segunda parcela é
Mas a integral de
em um intervalo de comprimento
é zero (periodicidade e simetria), então essa esperança é
. Concluímos:
Como já achamos
, a covariância é simplesmente
Didática sobre a identidade usada: a identidade
é muito útil para transformar produtos de funções trigonométricas em somas, o que facilita a integração/esperança quando há deslocamentos angulares.
Passo 4
Calculamos a covariância cruzada
. Primeiro a esperança do produto:
Usamos a identidade trigonométrica
Com
e
obtemos
Tomando esperança:
A primeira esperança é zero pelo mesmo motivo da parte cos com
(integral de seno ao longo de um período é zero). A segunda parcela independe de
. Logo
Como
e
(mesma simetria para seno), temos
Comentário prático: note a dependência apenas da diferença
nas covariâncias — isso é típico de processos (wide-sense) estacionários em tempo, aqui induzido pela uniformidade de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)