Dados 2 processos \mathrm{X}(\mathrm{t})=\cos (\omega \mathrm{t}+\theta) e \mathrm{Y}(\mathrm{t})=\operatorname{sen}(\omega \mathrm{t}+\theta) onde \theta é uniformemente distribuída entre -\pi e \pi.
(a) Encontre a média m_{x}(t)
(b) Encontre a covariância de \mathrm{X}(\mathrm{t}), C_{x}\left(t_{1}, t_{2}\right)
(c) Encontre a covariância cruzada, C_{x y}\left(t_{1}, t_{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas funções estocásticas (processos) dependentes de uma variável aleatória \theta:
X(t)=\cos(\omega t+\theta),\qquad Y(t)=\sin(\omega t+\theta),
onde \theta é uniforme em [-\pi,\pi]. As perguntas são:
(a) encontrar a média m_x(t)=\mathbb{E}[X(t)];
(b) encontrar a covariância de X, C_x(t_1,t_2)=\operatorname{Cov}(X(t_1),X(t_2));
(c) encontrar a covariância cruzada C_{xy}(t_1,t_2)=\operatorname{Cov}(X(t_1),Y(t_2)).
Informações relevantes dadas:
  • \theta\sim\text{Uniform}[-\pi,\pi] com densidade f_\theta(\theta)=\dfrac{1}{2\pi} para \theta\in[-\pi,\pi].
  • \omega é uma constante (frequência), t,t_1,t_2 são instantes de tempo.
  • Para variáveis com média zero, a covariância simplifica para C_{(\cdot)}=\mathbb{E}[\text{produto}].

Passo 2

Definimos expectativa em função de \theta. A média de X(t) é
m_x(t)=\mathbb{E}[X(t)]=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\omega t+\theta)\,f_\theta(\theta)\,d\theta.
Substituindo f_\theta(\theta)=\dfrac{1}{2\pi} obtemos
m_x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\omega t+\theta)\,d\theta.
Para calcular essa integral, fazemos a observação simples: a integral de \cos em um intervalo simétrico de comprimento 2\pi é zero, ou calcular diretamente a primitiva:
\int\cos(\omega t+\theta)\,d\theta=\sin(\omega t+\theta),
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m_x(t)=\frac{1}{2\pi}\big[\sin(\omega t+\theta)\big]_{\theta=-\pi}^{\theta=\pi} = \frac{1}{2\pi}\big(\sin(\omega t+\pi)-\sin(\omega t-\pi)\big).
Usando \sin(u+\pi)=-\sin u e \sin(u-\pi)=-\sin u, o resultado é 0. Portanto m_x(t)=0.
Comentário didático curto: intuitivamente, \theta uniforme “faz rodar” o cosseno por todos os ângulos, e as partes positivas e negativas se cancelam.

Passo 3

Agora calculamos \mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]. Primeiro escrevemos o produto:
X(t_1)X(t_2)=\cos(\omega t_1+\theta)\cos(\omega t_2+\theta).
Usamos a identidade trigonométrica (que vem de fórmulas de soma e diferença):
\cos A\cos B=\frac{1}{2}\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big).
Aplicando com A=\omega t_1+\theta e B=\omega t_2+\theta obtemos
X(t_1)X(t_2)=\frac{1}{2}\big(\cos(\omega(t_1-t_2))+\cos(\omega(t_1+t_2)+2\theta)\big).
Agora tiramos esperança em \theta:
\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]=\frac{1}{2}\Big(\cos(\omega(t_1-t_2))+\mathbb{E}[\cos(\omega(t_1+t_2)+2\theta)]\Big).
A primeira parcela \cos(\omega(t_1-t_2)) independe de \theta, então sua esperança é ela mesma. A segunda parcela é
\mathbb{E}[\cos(\omega(t_1+t_2)+2\theta)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\omega(t_1+t_2)+2\theta)\,d\theta.
Mas a integral de \cos(2\theta+\text{const}) em um intervalo de comprimento 2\pi é zero (periodicidade e simetria), então essa esperança é 0. Concluímos:
\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]=\frac{1}{2}\cos(\omega(t_1-t_2)).
Como já achamos m_x(t)=0, a covariância é simplesmente
C_x(t_1,t_2)=\operatorname{Cov}(X(t_1),X(t_2))=\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]-m_x(t_1)m_x(t_2)=\frac{1}{2}\cos(\omega(t_1-t_2)).
Didática sobre a identidade usada: a identidade \cos A\cos B=\tfrac{1}{2}(\cos(A-B)+\cos(A+B)) é muito útil para transformar produtos de funções trigonométricas em somas, o que facilita a integração/esperança quando há deslocamentos angulares.

Passo 4

Calculamos a covariância cruzada C_{xy}(t_1,t_2)=\operatorname{Cov}(X(t_1),Y(t_2)). Primeiro a esperança do produto:
\mathbb{E}[X(t_1)Y(t_2)]=\mathbb{E}\big[\cos(\omega t_1+\theta)\sin(\omega t_2+\theta)\big].
Usamos a identidade trigonométrica
\sin B\cos A=\frac{1}{2}\big(\sin(B+A)+\sin(B-A)\big).
Com A=\omega t_1+\theta e B=\omega t_2+\theta obtemos
\cos(\omega t_1+\theta)\sin(\omega t_2+\theta)=\frac{1}{2}\big(\sin(\omega(t_1+t_2)+2\theta)+\sin(\omega(t_2-t_1))\big).
Tomando esperança:
\mathbb{E}[X(t_1)Y(t_2)]=\frac{1}{2}\Big(\mathbb{E}[\sin(\omega(t_1+t_2)+2\theta)]+\sin(\omega(t_2-t_1))\Big).
A primeira esperança é zero pelo mesmo motivo da parte cos com 2\theta (integral de seno ao longo de um período é zero). A segunda parcela independe de \theta. Logo
\mathbb{E}[X(t_1)Y(t_2)]=\frac{1}{2}\sin(\omega(t_2-t_1)).
Como m_x(t_1)=0 e m_y(t_2)=\mathbb{E}[Y(t_2)]=0 (mesma simetria para seno), temos
C_{xy}(t_1,t_2)=\mathbb{E}[X(t_1)Y(t_2)]=\frac{1}{2}\sin(\omega(t_2-t_1)).
Comentário prático: note a dependência apenas da diferença t_2-t_1 nas covariâncias — isso é típico de processos (wide-sense) estacionários em tempo, aqui induzido pela uniformidade de \theta.

Resposta

(a) m_x(t)=0
(b) C_x(t_1,t_2)=\dfrac{1}{2}\cos\!\big(\omega(t_1-t_2)\big)
(c) C_{xy}(t_1,t_2)=\dfrac{1}{2}\sin\!\big(\omega(t_2-t_1)\big)

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