Para um número complexo qualquer
onde
. Se preferir utilize
no lugar de
. a) represente o número no plano complexo.
b) determine o módulo desse número.
c) determine o ângulo formado pelo número com o eixo dos reais.
d) denotando conjugação complexa por
, o que é o conjugado
? O que significa a conjugação complexa no plano complexo?
e) demonstre que
.
f) demonstre que o conjugado do produto de números complexos é o produto dos complexos conjugados. Para isso você pode demonstrar para dois números
e
e depois generalizar o resultado.
Obs.: em Matemática diz-se que a álgebra dos números complexos é isomórfica à dos vetores no plano, pois os vetores em duas dimensões,
tem as mesmas propriedades que um número complexo
.
b) determine o módulo desse número.
c) determine o ângulo formado pelo número com o eixo dos reais.
d) denotando conjugação complexa por
e) demonstre que
f) demonstre que o conjugado do produto de números complexos é o produto dos complexos conjugados. Para isso você pode demonstrar para dois números
Passo 1
O enunciado dá um número complexo
e pede: (a) desenhar no plano, (b) achar o módulo, © achar o ângulo com o eixo real, (d) definir o conjugado
e interpretar, (e) provar que
, (f) provar que o conjugado de um produto é o produto dos conjugados.
Passo 2
Para representar
no plano complexo (plano de Argand), lembramos que a parte real
é a coordenada no eixo
e a parte imaginária
é a coordenada no eixo
. Então basta marcar o ponto
.
Passo 3
O módulo de
é a distância desse ponto à origem. Pela definição de distância em
, temos
Passo 4
O ângulo
que o vetor
faz com o eixo real é dado pela função arco-tangente:
Passo 5
O conjugado de
é
Geométricamente, conjugar reflete o ponto no eixo dos reais, trocando apenas o sinal da coordenada imaginária.
Passo 6
Para mostrar
, basta multiplicar:
Passo 7
Sejam dois complexos
e
. Então
Seu conjugado é
Por outro lado,
que é igual a
. O caso de mais fatores se prova por indução simples.
Passo 8
Generalizando, para
complexos vale
Resposta
a) Ponto
no plano de Argand.
b) .
c) , com ajuste de quadrante.
d) , que reflete
no eixo real.
e) segue de
f) e assim por diante por indução.
b)
c)
d)
e)
f)