Para um número complexo qualquer
psi=beta+i alpha
onde i=raiz-1. Se preferir utilize j no lugar de i. a) represente o número no plano complexo.
b) determine o módulo desse número.
c) determine o ângulo formado pelo número com o eixo dos reais.
d) denotando conjugação complexa por *, o que é o conjugado psi^* ? O que significa a conjugação complexa no plano complexo?
e) demonstre que |psi|^2=psi psi^*.
f) demonstre que o conjugado do produto de números complexos é o produto dos complexos conjugados. Para isso você pode demonstrar para dois números psi1 e psi^2 e depois generalizar o resultado.
(psi1 psi2)^* & =psi1^* psi2^* (psi1 psi2 ldots psin)^* & =psi1^* psi2^* ldots psin^*
Obs.: em Matemática diz-se que a álgebra dos números complexos é isomórfica à dos vetores no plano, pois os vetores em duas dimensões, R^2 tem as mesmas propriedades que um número complexo C.

Passo 1

O enunciado dá um número complexo psi=beta+ialpha e pede: (a) desenhar no plano, (b) achar o módulo, © achar o ângulo com o eixo real, (d) definir o conjugado psi^* e interpretar, (e) provar que |psi|^2=psi,psi^*, (f) provar que o conjugado de um produto é o produto dos conjugados.

Passo 2

Para representar psi=beta+ialpha no plano complexo (plano de Argand), lembramos que a parte real beta é a coordenada no eixo x e a parte imaginária alpha é a coordenada no eixo y. Então basta marcar o ponto (beta,alpha).

Passo 3

O módulo de psi é a distância desse ponto à origem. Pela definição de distância em R^2, temos
|psi|=raizbeta^2+alpha^2

Passo 4

O ângulo theta que o vetor (beta,alpha) faz com o eixo real é dado pela função arco-tangente:
theta=arg(psi)=arctanl(tfracalphabetar), ajustando o quadrante conforme o sinal de beta e de alpha.

Passo 5

O conjugado de psi é
psi^*=beta-ialpha
Geométrica­mente, conjugar reflete o ponto no eixo dos reais, trocando apenas o sinal da coordenada imaginária.

Passo 6

Para mostrar |psi|^2=psi,psi^*, basta multiplicar:
psi,psi^*=(beta+ialpha)(beta-ialpha)=beta^2+(ialpha)(-ialpha)=beta^2+alpha^2=|psi|^2

Passo 7

Sejam dois complexos psi1=a+ib e psi2=c+id. Então
psi1psi2=(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)
Seu conjugado é
(psi1psi2)^*=(ac-bd)-i(ad+bc)
Por outro lado,
psi1^*psi2^*=(a-ib)(c-id)=(ac-bd)-i(ad+bc)
que é igual a (psi1psi2)^*. O caso de mais fatores se prova por indução simples.

Passo 8

Generalizando, para n complexos vale
(psi1psi2cdotspsin)^*=psi1^*psi2^*cdotspsin^*

Resposta

a) Ponto (beta,alpha) no plano de Argand.
b) |psi|=raizbeta^2+alpha^2.
c) arg(psi)=arctan(alpha/beta), com ajuste de quadrante.
d) psi^*=beta-ialpha, que reflete psi no eixo real.
e) |psi|^2=psi,psi^* segue de (beta+ialpha)(beta-ialpha)=beta^2+alpha^2
f) (psi1psi2)^* =psi1^*psi2^* e assim por diante por indução.

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