Verifique que
Quais as condições para que a igualdade passe a valer?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em geral,
e descobrir sob que condições essa igualdade passa a valer. O conteúdo aqui é manipulação de números complexos, especificamente a parte real de um produto.
Passo 2
Para resolver, escrevemos
e
em termos de suas partes real e imaginária. Seja
onde
$$\psi_1\psi_2 = (x_1 + i y_1)(x_2 + i y_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 ;+
i,(x_1 y_2 + y_1 x_2).$$
Passo 3
A parte real de
é então
enquanto o produto das partes reais é
Passo 4
Para que
Passo 5
Isso significa que pelo menos uma das partes imaginárias deve ser nula. Em termos das funções
e
, a igualdade vale se e somente se
Resposta
A igualdade
vale se e somente se
, isto é, quando pelo menos uma das funções
ou
for puramente real.