Verifique que
Re(psi1 psi2) neq Re(psi1) Re(psi2)
Quais as condições para que a igualdade passe a valer?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em geral, Re(psi1psi2)neqRe(psi1),Re(psi2) e descobrir sob que condições essa igualdade passa a valer. O conteúdo aqui é manipulação de números complexos, especificamente a parte real de um produto.

Passo 2

Para resolver, escrevemos psi1 e psi2 em termos de suas partes real e imaginária. Seja
psi1 = x1 + i,y1, psi2 = x2 + i,y2,
onde x1,x2 são as partes reais e y1,y2 são as partes imaginárias. Em seguida, calculamos o produto:
$$\psi_1\psi_2 = (x_1 + i y_1)(x_2 + i y_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 ;+
i,(x_1 y_2 + y_1 x_2).$$

Passo 3

A parte real de psi1psi2 é então
Re(psi1psi2) = x1 x2 - y1 y2,
enquanto o produto das partes reais é
Re(psi1),Re(psi2) = x1,x2

Passo 4

Para que
Re(psi1psi2) = Re(psi1),Re(psi2)precisamos de
x1 x2 - y1 y2 = x1 x2 Longrightarrow y1 y2 = 0

Passo 5

Isso significa que pelo menos uma das partes imaginárias deve ser nula. Em termos das funções psi1 e psi2, a igualdade vale se e somente se
Im(psi1) = 0ouIm(psi2) = 0,ou seja, quando pelo menos uma das funções for puramente real.

Resposta

A igualdade Re(psi1psi2)=Re(psi1),Re(psi2) vale se e somente se Im(psi1),Im(psi2)=0, isto é, quando pelo menos uma das funções psi1 ou psi2 for puramente real.

Exercícios relacionados