Dados quaisquer conjuntos A, B, C e D demonstre que
C(C A)=A;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de dupla complementação em teoria de conjuntos, ou seja, que o complemento do complemento de qualquer conjunto A é o próprio conjunto A. Para isso vamos usar a definição de complemento e a prova de igualdade de conjuntos via dupla inclusão.

Passo 2

Mostramos que C(C(A))subseteq A.
Seja x um elemento de C(C(A)). Por definição de complemento, isso significa que
xnotin C(A)
Mas xnotin C(A) é equivalente a dizer que
xin A
Então qualquer xin C(C(A)) também está em A, isto é,
C(C(A))subseteq A

Passo 3

Mostramos que Asubseteq C(C(A)).
Seja x um elemento de A. Então, por definição de complemento, xnotin C(A). Logo, novamente por definição de complemento,
xin C(C(A))
Portanto todo xin A também pertence a C(C(A)), ou seja,
Asubseteq C(C(A))

Passo 4

Como provamos as inclusões
C(C(A))subseteq A e Asubseteq C(C(A)),
concluímos que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

C(C(A)) = A

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