Dados quaisquer conjuntos
e
demonstre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade de dupla complementação em teoria de conjuntos, ou seja, que o complemento do complemento de qualquer conjunto
é o próprio conjunto
. Para isso vamos usar a definição de complemento e a prova de igualdade de conjuntos via dupla inclusão.
Passo 2
Mostramos que
.
Seja um elemento de
. Por definição de complemento, isso significa que
Seja
Mas
é equivalente a dizer que
Então qualquer
também está em
, isto é,
Passo 3
Mostramos que
.
Seja um elemento de
. Então, por definição de complemento,
. Logo, novamente por definição de complemento,
Seja
Portanto todo
também pertence a
, ou seja,
Passo 4
Como provamos as inclusões
concluímos que os dois conjuntos são iguais.