Use a derivação implícita para achar uma equação da reta tangente a curva no ponto dado: Curva x^2+x y+y^3=3 ponto (1 ; 1)

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^2+x,y+y^3=3
e pede a reta tangente a essa curva no ponto (1;1). O conteúdo usado aqui é derivação implícita para encontrar dydx e depois a fórmula da reta tangente
y - y0 = m l(x - x0r),
onde m=dydx|(x0,y0).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^2+x,y+y^3=3
em relação a x, temos
  • derivada de x^2 é 2x,
  • derivada de x,y (produto) é xdydx+y,
  • derivada de y^3 é 3y^2dydx,
    e a derivada de 3 é 0.
    Logo,
2x + l(x,y' + yr) + 3y^2y' = 0,
onde usamos y'=dydx.

Passo 3

Agrupando os termos com y' e os sem y', fica
x,y' + 3y^2y' + 2x + y = 0 Longrightarrow l(x + 3y^2r)y' + l(2x + yr) = 0
Isolando y', obtemos
y' = -2x + yx + 3y^2

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(1,1):
y'l|(1;1) = -2cdot1 + 11 + 3cdot1^2 = -34
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente.

Passo 5

Usando a fórmula da reta tangente y - y0 = m(x - x0) com (x0;y0)=(1;1) e m=-tfrac34, temos
y - 1 = -tfrac34,(x - 1)

Resposta

boxedy - 1 = -34,(x - 1)

Exercícios relacionados