Uma partícula se move segundo a lei do movimento s(t)=tt^2+1, t >= 0, onde t é medido em segundos e s em metros.
a) Encontre a velocidade no instante t.
b) Qual a velocidade depois de 3 segundos?
c) Quando a partícula está em repouso?
d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.
f) Desenhe um diagrama para ilustra o movimento da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento
s(t)=tt^2+1, t>=0
e pede: (a) velocidade v(t), (b) v(3), (c) instante de repouso, (d) intervalo em que o movimento é no sentido positivo, (e) distância total de 0 a 8 s, (f) diagrama qualitativo de s(t). Vamos precisar da regra do quociente para derivar, análise do sinal de v(t) e cálculo de posições para obter a distância.

Passo 2

Para achar a velocidade usamos a derivada
definida pela regra do quociente com u(t)=t e w(t)=t^2+1, onde u'=1 e w'=2t. Assim,
v(t)=s'(t) =u'w - u,w'w^2 =1cdot(t^2+1)-tcdot2t(t^2+1)^2 =1-t^2(t^2+1)^2

Passo 3

Para t=3,
v(3)=1-3^2(3^2+1)^2 =1-9(9+1)^2 =-8100 =-0,08 m/s

Passo 4

A partícula está em repouso se v(t)=0. Da fórmula de v(t) vem
1-t^2=0Rightarrow t=1(t>=0)

Passo 5

O movimento é crescente (sentido positivo) quando v(t)>0, isto é
1-t^2>0Leftrightarrow t^2<1Rightarrow 0<= t<1

Passo 6

A distância total de t=0 a t=8 s exige ver quando v muda de sinal (em t=1). Calculamos
s(0)=0, s(1)=12, s(8)=865
De 0 a 1 s a partícula vai de 0 a tfrac12, percorrendo tfrac12. De 1 a 8 s ela volta de tfrac12 a tfrac865, percorrendo tfrac12-tfrac865=tfrac49130. Logo a distância total é
12+49130=5765 mapprox0,8769 m

Passo 7

O diagrama de s(t) versus t é uma curva que sobe de (0,0) até o pico (1,tfrac12), depois decresce suavemente em direção a zero quando ttoinfty. Assim, cresce até t=1 (velocidade positiva) e decai para s=0 (velocidade negativa).

Resposta

(a) v(t)=1-t^2(t^2+1)^2.
(b) v(3)=-0,08 m/s
(c) t=1 s
(d) 0<= t<1 s
(e) 5765 mapprox0,8769 m
(f) Gráfico qualitativo: curva de s(t) que aumenta de (0,0) a (1,0,5) e depois decresce tendendo a zero.

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