Sejam
e
e considere a reta
que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
. Encontre os pontos
de
tais que o triângulo
tem um ângulo reto no vértice
.
Passo 1
Temos os pontos A=(1,2,−1) e B=(0,1,2) e a reta r passando por P=(0,2,0) com vetor direção v=(2,−2,1). Queremos C em r tal que o ângulo em C do triângulo ABC seja reto, ou seja, os vetores CA e CB sejam perpendiculares.
Para isso, parametrizamos C na reta r por um parâmetro t:
Para isso, parametrizamos C na reta r por um parâmetro t:
Passo 2
Em seguida, escrevemos os vetores CA e CB em função de t:
Passo 3
Como queremos CA⊥CB, impomos o produto escalar zero:
Expandindo e somando, obtemos a equação quadrática
Passo 4
Resolvendo,
Passo 5
Por fim, substituímos esses valores de t em C(t) para obter as duas possíveis posições de C.
Resposta
Os pontos C desejados são