Sejam A=(1,2,-1) e B=(0,1,2) e considere a reta r que passa pelo ponto (0,2,0) e tem a direção do vetor (2,-2,1). Encontre os pontos C de r tais que o triângulo A B C tem um ângulo reto no vértice C.

Passo 1

Temos os pontos A=(1,2,−1) e B=(0,1,2) e a reta r passando por P=(0,2,0) com vetor direção v=(2,−2,1). Queremos C em r tal que o ângulo em C do triângulo ABC seja reto, ou seja, os vetores CA e CB sejam perpendiculares.
Para isso, parametrizamos C na reta r por um parâmetro t:
C(t)=P+t,v=(0,2,0)+t(2,-2,1)=(2t,;2-2t,;t)

Passo 2

Em seguida, escrevemos os vetores CA e CB em função de t:
CA=A-C(t)=(1-2t,;2-(2-2t),;-1-t)=(1-2t,;2t,;-1-t),
CB=B-C(t)=(0-2t,;1-(2-2t),;2-t)=(-2t,;-1+2t,;2-t),

Passo 3

Como queremos CA⊥CB, impomos o produto escalar zero:
CAcdot CB=(1-2t)(-2t)+(2t)(-1+2t)+(-1-t)(2-t)=0
Expandindo e somando, obtemos a equação quadrática
9t^2-5t-2=0

Passo 4

Resolvendo,
t=5pmraiz9718

Passo 5

Por fim, substituímos esses valores de t em C(t) para obter as duas possíveis posições de C.

Resposta

Os pontos C desejados são
C1=l(5+raiz979,;13-raiz979,;5+raiz9718r), C2=l(5-raiz979,;13+raiz979,;5-raiz9718r)

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