Dados uma reta e um ponto não pertencente a . Seja um conjunto de pontos que satisfazem a equação
Então
(i) então é uma hipérbole.
(ii) então é uma parábola.
(iii) Se então é uma elipse.
Passo 1
O enunciado define a curva como o conjunto dos pontos que satisfazem
onde é um ponto fixo (foco), é uma reta fixa (diretriz) que não passa por , e é uma constante (excentricidade). Nosso objetivo é colocar isso em coordenadas cartesianas, obter uma equação de segundo grau e usar o critério de classificação de cônicas via discriminante.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas tal que a diretriz seja o eixo vertical e o foco seja o ponto , com . Assim
e
d(P,F)=raiz(x-c)^2+y^2
A condição da definição fica
raiz(x-c)^2+y^2=e,|x|
Passo 3
Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto (para a análise basta considerar x>=0, pois a curva se reflete simetricamente se mudarmos o sinal de x):