Dados uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Seja C um conjunto de pontos P que satisfazem a equação
d(P, F)=ed(P, d)

Então

(i) Se e>1 então C é uma hipérbole.
(ii) Se e=1 então C é uma parábola.
(iii) Se e<1 então C é uma elipse.

Passo 1

O enunciado define a curva C como o conjunto dos pontos P=(x,y) que satisfazem
d(P,F)=e,d(P,d),
onde F é um ponto fixo (foco), d é uma reta fixa (diretriz) que não passa por F, e e>0 é uma constante (excentricidade). Nosso objetivo é colocar isso em coordenadas cartesianas, obter uma equação de segundo grau e usar o critério de classificação de cônicas via discriminante.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas tal que a diretriz seja o eixo vertical x=0 e o foco seja o ponto F=(c,0), com c>0. Assim
d(P,d)=l|x-0r|=|x|
e
d(P,F)=raiz(x-c)^2+y^2
A condição da definição fica
raiz(x-c)^2+y^2=e,|x|

Passo 3

Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto (para a análise basta considerar x>=0, pois a curva se reflete simetricamente se mudarmos o sinal de x):
(x-c)^2+y^2=e^2x^2
Expandindo e reunindo termos:
x^2-2cx+c^2+y^2=e^2x^2 Longrightarrow (1-e^2)x^2-2c x+y^2+c^2=0

Passo 4

A equação geral em x,y é
A x^2 + Bxy + C y^2 + D x + E y + F = 0
aqui com
A=1-e^2, B=0, C=1, D=-2c, E=0, F=c^2
O discriminante característico é De<a = B^2-4AC. Substituindo:
De<a = 0^2 -4(1-e^2)(1) =4(e^2-1)

Passo 5

Pelo critério das cônicas:
  • Se De<a>0 então é hipérbole.
  • Se De<a=0 então é parábola.
  • Se De<a<0 então é elipse.
Como De<a=4(e^2-1), concluímos:
  • e>1impliesDe<a>0 to hipérbole.
  • e=1impliesDe<a=0 to parábola.
  • e<1impliesDe<a<0 to elipse.

Resposta

(i) Para e>1, C é uma hipérbole.
(ii) Para e=1, C é uma parábola.
(iii) Para e<1, C é uma elipse.

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