Quando A e B são números reais, é comum o uso do seguinte raciocinio:
Se A^2=B^2, ent J O A=B ou A=-B.
Verifique que este raciocinio nāo é vâlido caso A e B sejam matrizes, fornecendo um contraexemplo que utilize duas das matrizes a seguir (se possivel):
P=[cc-5 & 0 -11 & 6], Q=[cc5 & 0 -1 & -6], R=[cc5 & 0 -1 & 6] e S=[cc5 & 0 11 & -6].
Com base em sua análise, A e B devem ser substituídos por quais matrizes para que ocorra A^2=B^2 e, mesmo assim, tenha-se A neq B e A neq-B ?
a. A=PeB=S
b. As 4 matrizes fornecidas nåo sło suficientes para obter um contraexemplo
c. A=P e B=R
d. A=Q e B=R

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que, para números reais, se A^2 = B^2 , então necessariamente A = B ou A = -B . Mas aí a pergunta quer a gente mostrar que isso não funciona com matrizes. Ou seja, encontrar duas matrizes A e B onde A^2 = B^2 , mas A não é igual a B nem a -B . Para isso, vamos usar as matrizes dadas na questão: P , Q , R e S .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Para multiplicar duas matrizes M e N , a gente faz o seguinte: para cada elemento da linha i de M e coluna j de N , multiplica os elementos correspondentes e soma. Vamos calcular A^2 para algumas das matrizes dadas.

Passo 3

Vamos começar com a opção c. A = P e B = R . Primeiro, vamos calcular P^2 e R^2 .
Matriz P :
P = -5 & 0 -11 & 6
Calculando P^2 = P times P :
P^2 = -5 & 0 -11 & 6 times -5 & 0 -11 & 6 = (-5)(-5) + (0)(-11) & (-5)(0) + (0)(6) (-11)(-5) + (6)(-11) & (-11)(0) + (6)(6) = 25 + 0 & 0 + 0 55 - 66 & 0 + 36 = 25 & 0 -11 & 36
Matriz R :
R = 5 & 0 -1 & 6
Calculando R^2 = R times R :
R^2 = 5 & 0 -1 & 6 times 5 & 0 -1 & 6 = (5)(5) + (0)(-1) & (5)(0) + (0)(6) (-1)(5) + (6)(-1) & (-1)(0) + (6)(6) = 25 + 0 & 0 + 0 -5 -6 & 0 + 36 = 25 & 0 -11 & 36

Passo 4

Agora, vamos comparar P^2 e R^2 :
P^2 = 25 & 0 -11 & 36
R^2 = 25 & 0 -11 & 36
Viu só? P^2 = R^2 , mas se olharmos as matrizes P e R , elas não são iguais nem inversas uma da outra:
P = -5 & 0 -11 & 6 , R = 5 & 0 -1 & 6
Claramente, P neq R e P neq -R .

Passo 5

Então, encontramos um contraexemplo! Usando A = P e B = R , temos A^2 = B^2 , mas A não é igual a B nem a -B . Isso mostra que o raciocínio que funciona para números reais não vale para matrizes.

Resposta

A opção correta é a c. A = P e B = R .

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