Quando e são números reais, é comum o uso do seguinte raciocinio:
Se , ent ou .
Verifique que este raciocinio nāo é vâlido caso e sejam matrizes, fornecendo um contraexemplo que utilize duas das matrizes a seguir (se possivel): e S=[cc5 & 0 11 & -6].
Com base em sua análise, A e B devem ser substituídos por quais matrizes para que ocorra A^2=B^2 e, mesmo assim, tenha-se A neq B e A neq-B ?
a. A=PeB=S
b. As 4 matrizes fornecidas nåo sło suficientes para obter um contraexemplo
c. A=P e B=R
d. A=Q e B=R
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que, para números reais, se A^2 = B^2 , então necessariamente A = B ou A = -B . Mas aí a pergunta quer a gente mostrar que isso não funciona com matrizes. Ou seja, encontrar duas matrizes A e B onde A^2 = B^2 , mas A não é igual a B nem a -B . Para isso, vamos usar as matrizes dadas na questão: P , Q , R e S .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Para multiplicar duas matrizes M e N , a gente faz o seguinte: para cada elemento da linha i de M e coluna j de N , multiplica os elementos correspondentes e soma. Vamos calcular A^2 para algumas das matrizes dadas.
Passo 3
Vamos começar com a opção c. A = P e B = R . Primeiro, vamos calcular P^2 e R^2 .
Viu só? P^2 = R^2 , mas se olharmos as matrizes P e R , elas não são iguais nem inversas uma da outra:
P = -5 & 0 -11 & 6 , R = 5 & 0 -1 & 6
Claramente, P neq R e P neq -R .
Passo 5
Então, encontramos um contraexemplo! Usando A = P e B = R , temos A^2 = B^2 , mas A não é igual a B nem a -B . Isso mostra que o raciocínio que funciona para números reais não vale para matrizes.