A equação
A x^2++B x y+C y^2+D x+E y+F=0
se transforma numa equação da forma
A1 x^2+C1 y^2+D1 x+E1 y+F1=0
com a rotação de eixos de um ângulo theta, onde:
theta=12 arctang(BA-C), se A neq C
ou
theta=45^circ, se A=C

Passo 1

O enunciado apresenta a forma geral de uma cônica com termo misto
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
e afirma que, após uma rotação de eixos de ângulo theta, ela fica sem o termo x y, passando a ser
A1 x^2 + C1 y^2 + D1 x + E1 y + F1 = 0
O conteúdo aqui é a eliminação do termo misto numa equação de segundo grau por meio de rotação de eixos, usando transformações trigonométricas.

Passo 2

Introduzimos a rotação de eixos clássica: chamando (x,y) as coordenadas originais e (x',y') as coordenadas giradas de theta, temos
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta
Também usaremos as identidades
sin2theta = 2sintheta,costheta, cos2theta = cos^2theta - sin^2theta

Passo 3

Substituindo na parte quadrática
A x^2 + B x y + C y^2
e coletando o coeficiente do produto x'y', mostra-se que esse coeficiente torna-se
(A - C),sin2theta + B,cos2theta
Para eliminar o termo misto, precisamos anular esse coeficiente.

Passo 4

Impondo
(A - C),sin2theta + B,cos2theta = 0
temos
tan2theta = B,A - C,,
o que leva a
2theta = arctan!l(tfracBA - Cr) Longrightarrow theta = tfrac12,arctan!l(tfracBA - Cr),
válido quando Aneq C.

Passo 5

Se A = C, o denominador de tan2theta fica zero, logo
tan2thetatoinfty Longrightarrow 2theta = 90^circ Longrightarrow theta = 45^circ

Resposta

theta = tfrac12,arctan!l(tfracBA - Cr), & A neq C,[6pt] 45^circ, & A = C ]

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