Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
\left{ \begin{array}{l}x+a z=0 \\y=0 \\a x+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear homogêneo em três incógnitas (x,y,z)\) dependente do parâmetro \(a\): \[\begin{cases} x + a\,z = 0,\\\ y = 0,\\\ a\,x + z = 0. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares homogêneos e estudo de existência de soluções não-triviais (isto é, além da solução (x=y=z=0]). Vamos usar o critério do determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A\,\mathbf{v}=\mathbf{0}, onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a\\\\ 0 & 1 & 0\\\ a & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Para sistemas homogêneos, existe solução não-trivial se, e somente se, \det(A)=0. Vamos calcular
\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a\\\\ 0 & 1 & 0\\\ a & 0 & 1 \end{vmatrix}.

Passo 4

Expandindo o determinante pela primeira linha,
\det(A) = 1\cdot\begin{vmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{vmatrix} -0\cdot\begin{vmatrix}0 & 0\a & 1\end{vmatrix} +a\cdot\begin{vmatrix}0 & 1\a & 0\end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot1-0\cdot0) + a\cdot(0\cdot0-1\cdot a) = 1 - a^2.

Passo 5

Impondo \det(A)=0 para obter soluções não-triviais,
1 - a^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 1 \quad\text{ou}\quad a = -1.
Para esses valores de a, o sistema tem infinitas soluções. Se a\neq \pm1, a única solução é a trivial x=y=z=0.

Resposta

a = 1 ou a = -1.

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