Determine os polinômios característicos, os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente de cada uma das matrizes, em relação a base canônica, dos operadores lineares dados por:
F: R^{2} \rightarrow R^{2}, \quad F(x, y)=(x-y, 2 x-y)

Passo 1

O enunciado define o operador linear
F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad F(x,y) = (x - y,\;2x - y)
e pede o polinômio característico, os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente à matriz de F na base canônica. Para isso, vamos primeiro escrever a matriz de F em relação à base canônica e em seguida aplicar os conceitos de autovalor e autovetor.

Passo 2

A matriz de F na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & -1 \end{pmatrix}
porque F(e_1) = F(1,0) = (1,2) e F(e_2) = F(0,1) = (-1,-1).

Passo 3

O polinômio característico de A é dado por
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1\\\\ 2 & -1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) - (-1)\cdot2.
Calculando, temos
(1-\lambda)(-1-\lambda) + 2 = (-1 + \lambda^2) + 2 = \lambda^2 + 1.

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = i \quad\text{ou}\quad \lambda = -\,i.
Note que não há raízes reais, logo a diagonalização só ocorre estendendo o escalar a \mathbb{C}.

Passo 5

Para \lambda = i, resolvemos (A - iI)v = 0, ou seja
\begin{pmatrix} 1 - i & -1\\\\ 2 & -1 - i \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem (1 - i)x - y = 0, logo y = (1 - i)x. Podemos tomar
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1 - i\end{pmatrix}.
Para \lambda = -\,i, de modo análogo obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1 + i\end{pmatrix}.

Passo 6

Tomando como matriz de passagem P = \bigl[v_1\;v_2\bigr], a matriz diagonal que representa A na base \{v_1,v_2\}\subset\mathbb{C}^2 é
D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} i & 0\\\\ 0 & -\,i \end{pmatrix}.

Resposta

Polinômio característico:
\lambda^2 + 1.
Autovalores:
\lambda_1 = i, \lambda_2 = -\,i.
Autovetores (em \mathbb{C}^2):
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1 - i\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1 + i\end{pmatrix}.
Matriz diagonal correspondente:
\begin{pmatrix} i & 0\\\\ 0 & -\,i \end{pmatrix}.

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