Determine a amplitude, a variancia e o desvio-padrão para cada uma das duas amosiras, e compare os dois conjunios de resultados. (Na Seção 2-4 utilizamos esses mesmos dados.)
Pesos (em libras) de papel e plístico descartados em residências durante uma semana [Dados coletados no Projeto do Lixo da Universidade de Arizona]:
Papel: \quad \begin{array}{llllllll}9,55 & 6,38 & 2,80 & 6,98 & 6,33 & 6,16 & 10,00 & 12,29\end{array}
Plástico: \begin{array}{llllllll}2,19 & 2,10 & 1,41 & 0,63 & 0,92 & 1,40 & 1,74 & 2,87\end{array}

Passo 1

O que o problema pede: determinar, para cada uma das duas amostras (papel e plástico), a amplitude, a variância e o desvio-padrão, e depois comparar os dois conjuntos de resultados.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
Papel: \quad \begin{array}{llllllll}9,55 & 6,38 & 2,80 & 6,98 & 6,33 & 6,16 & 10,00 & 12,29\end{array}
Plástico: \begin{array}{llllllll}2,19 & 2,10 & 1,41 & 0,63 & 0,92 & 1,40 & 1,74 & 2,87\end{array}
Observações importantes (só para deixar claro o que vamos calcular):
  • A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra.
  • A variância e o desvio-padrão serão calculados como estatísticas de amostra (ou seja, usaremos divisão por n-1, explico o porquê adiante).
  • Todas as quantidades numéricas que eu usar abaixo vêm dos dados acima.

Passo 2

Amplitude (definição e cálculo): a amplitude é
\text{Amplitude} = \max(x_i) - \min(x_i),
onde x_i são os valores da amostra.
Para a amostra Papel: o maior valor é \,12,29 e o menor é \,2,80. Então
\text{Amplitude}_{\text{papel}} = 12,29 - 2,80 = 9,49.
Para a amostra Plástico: o maior valor é \,2,87 e o menor é \,0,63. Então
\text{Amplitude}_{\text{plástico}} = 2,87 - 0,63 = 2,24.á

Passo 3

Escolha do método para variância/desvio-padrão e fórmulas usadas.
Explicação didática rápida: como os números são dados como “amostras” recolhidas (não estamos tratando de toda a população de todas as semanas possíveis), usamos a variância amostral não-viesada, que divide pela quantidade de graus de liberdade n-1. Isso corrige o viés na estimativa da variância da população quando usamos a média amostral.
Fórmulas que usarei:
  • Média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde n é o número de observações e x_i cada observação.
  • Variância amostral (não-viesada):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
  • Desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{s^2}.
Aqui: n=8 para cada amostra. Vou calcular \bar{x}, depois as diferenças x_i-\bar{x}, elevar ao quadrado, somar, dividir por n-1=7 e tirar raiz quadrada.

Passo 4

Cálculo da média da amostra Papel.
Somando os valores (peguei diretamente os números fornecidos no enunciado):
\sum x_i = 9,55+6,38+2,80+6,98+6,33+6,16+10,00+12,29 = 60,49.
Número de observações: n=8.
Média:
\bar{x}_{\text{papel}}=\frac{60,49}{8}=7,56125.

Passo 5

Cálculo da variância e do desvio-padrão da amostra Papel passo a passo (mostrando cada x_i-\bar{x} e (x_i-\bar{x})^2).
Lista dos x_i, das diferenças e dos quadrados (tomei \bar{x}_{\text{papel}}=7,56125):
\begin{array}{llr} x_i & x_i-\bar{x} & (x_i-\bar{x})^2\\hline 9,55 & 1,98875 & 3,955140625\\\\ 6,38 & -1,18125 & 1,3953515625\\\\ 2,80 & -4,76125 & 22,6695015625\\\\ 6,98 & -0,58125 & 0,3378515625\\\\ 6,33 & -1,23125 & 1,5159765625\\\\ 6,16 & -1,40125 & 1,9635015625\\\\ 10,00 & 2,43875 & 5,9475015625\\\\ 12,29 & 4,72875 & 22,3610765625 \end{array}
Somando os quadrados:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 60,1459015625.
Variância amostral:
s^2_{\text{papel}}=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2=\frac{60,1459015625}{7}=8,592271651785714\approx 8,5923.
Desvio-padrão:
s_{\text{papel}}=\sqrt{s^2_{\text{papel}}}=\sqrt{8,5922716518}\approx 2,9313\approx 2,931.
(Arredondei os resultados para 4 casas na variância e 3 casas no desvio-padrão para clareza; em prova normalmente 2–3 casas decimais já estão OK.)

Passo 6

Cálculo da média da amostra Plástico.
Somando os valores (peguei os números do enunciado):
\sum x_i = 2,19+2,10+1,41+0,63+0,92+1,40+1,74+2,87 = 13,26.
Média:
\bar{x}_{\text{plástico}}=\frac{13,26}{8}=1,6575.á

Passo 7

Cálculo da variância e do desvio-padrão da amostra Plástico (com passos).
Lista dos x_i, diferenças e quadrados (com \bar{x}_{\text{plástico}}=1,6575á):
\begin{array}{llr} x_i & x_i-\bar{x} & (x_i-\bar{x})^2\\hline 2,19 & 0,5325 & 0,28355625\\\\ 2,10 & 0,4425 & 0,19580625\\\\ 1,41 & -0,2475 & 0,06125625\\\\ 0,63 & -1,0275 & 1,05580625\\\\ 0,92 & -0,7375 & 0,54390625\\\\ 1,40 & -0,2575 & 0,06630625\\\\ 1,74 & 0,0825 & 0,00680625\\\\ 2,87 & 1,2125 & 1,47015625 \end{array}
Somando os quadrados:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 3,6836.
Variância amostral:
s^2_{\text{plástico}}=\frac{3,6836}{7}=0,5262285714285714\approx 0,5262.á
Desvio-padrão:
s_{\text{plástico}}=\sqrt{0,5262285714}\approx 0,7256\approx 0,726.á

Passo 8

Comparação e interpretação final (curta e prática — como você pode usar isso na prova).
  • Médias: \bar{x}_{\text{papel}}=7,56125 lb versus \bar{x}_{\text{plástico}}=1,6575á lb — em média há muito mais peso de papel descartado do que de plástico nessa amostra.
  • Amplitude: papel \,9,49 contra plástico \,2,24 — os valores do papel variam em uma faixa maior.
  • Variância e desvio-padrão (medidas de dispersão): papel s^2\approx 8,5923, s\approx 2,931; plástico s^2\approx 0,5262, s\approx 0,726. Ou seja, além da média ser maior para papel, a variabilidade do peso de papel também é bem maior: o desvio-padrão do papel é cerca de 4 vezes o do plástico.
Dica prática para prova: calcule primeiro a soma e a média; depois calcule as diferenças x_i-\bar{x} e os quadrados numa coluna — assim evita erros e facilita checagem manual.
Força aí — você já tem os passos completos para justificar e calcular tudo na prova!

Resposta

Papel: \text{Amplitude}=9,49, \;s^2=8,5923, \;s=2,931
Plástico: \text{Amplitude}=2,24, \;s^2=0,5262, \;s=0,726

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