Dados da secretaria de agricultura relacionam a produção de grãos de 500 pequenas propriedades rurais. A produção foi medida em sacas, os dados estão agrupados em classes:
Sacas
19
67
141
157
94
18
4
Total 500
a) Calcule a média, mediana e desvio padrão. Interprete-os.
b) Faça um histograma e faça uma análise da distribuição.

Passo 1

O enunciado traz dados agrupados em classes de produção (em sacas) de 500 propriedades, com frequências fi. Vamos usar os conceitos de estatística descritiva para distribuir estes dados em tabelas de:
  1. Ponto médio de cada classe xi.
  2. Média amostral bar x por
bar x = 1nsumi fi xi
  1. Variância e desvio padrão pela fórmula de grupo
sigma = raizsumi fi xi^2n - bar x^2,
  1. Mediana por interpolação na classe mediana
M = L + n2-Facfm;h,
onde L é o limite inferior da classe mediana, Fac a frequência acumulada antes da classe, fm a frequência da classe e h a amplitude desta classe.
5. Por fim faremos um histograma e analisaremos simetria (assimetria) e forma da distribuição.

Passo 2

Calculamos os pontos médios e a soma :
Assim,

Passo 3

Para o desvio padrão precisamos de sum fi xi^2. Calculamos aproximadamente
sum fi xi^2 = 8083,04Longrightarrow sum fi xi^2n=16,1661
Logo
sigma = raiz16,1661 - (3,9913)^2 = raiz16,1661 - 15,9305 = raiz0,2356 approx 0,49

Passo 4

Para a mediana, o termo de posto tfracn2=250 cai na classe 4,0-4,3, pois a frequência acumulada antes desta classe é 227 e, somando 157, chega-se a 384. Logo:
L=4,0, Fac=227, fm=157, h=0,3
Pela fórmula de interpolação:
M = 4,0 + 250 - 227157times0,3 = 4,0 + 23157times0,3 approx 4,04

Passo 5

Interpretações:
  • A média bar xapprox3,99 sacas indica o valor médio de produção.
  • A mediana Mapprox4,04 sacas mostra que metade das propriedades produz até 4,04 sacas e metade produz acima.
  • O desvio padrão sigmaapprox0,49 sacas mede a dispersão em torno da média: a maior parte das produções está num intervalo de cerca de pm0,5 sacas ao redor de 3,99.

Passo 6

O histograma (barras com largura igual à amplitude das classes e altura proporcional a fi/h) revela uma distribuição unimodal centrada entre 3,6 e 4,3. Observa-se que as frequências caem mais lentamente para os valores baixos (classes à esquerda) do que para os valores altos, o que caracteriza assimetria à esquerda (cauda mais longa à esquerda).

Resposta

Média bar xapprox3,99; Mediana Mapprox4,04; Desvio padrão sigmaapprox0,49.
A distribuição é unimodal e levemente assimétrica à esquerda.

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