Dados o segmento , sendo A(1,2) e B(7,8) determine:
(A) As coordenadas do ponto P que divide o segmento A B na razão r=3 / 5;
(B) A razão de secção que o ponto P(3,4) divide o segmento A B
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta AB com os pontos A(1,2) e B(7,8). Precisamos resolver duas partes:
(A) Encontrar as coordenadas do ponto P que divide AB na razão r = 35.
(B) Determinar qual a razão de divisão quando o ponto P(3,4) está no segmento AB.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de divisão de segmento na geometria analítica, que nos ajuda a encontrar um ponto que divide um segmento interno ou externamente em uma certa proporção.
Passo 2
Vamos começar com a parte (A). A fórmula para encontrar as coordenadas de um ponto P(x, y) que divide o segmento AB na razão r = mn é:
Então, as coordenadas do ponto P são (3,25, 4,25).
Passo 5
Agora, vamos para a parte (B). Queremos descobrir a razão de divisão quando o ponto P(3,4) está no segmento AB. Usamos a mesma fórmula, mas desta vez sabemos as coordenadas de P e queremos achar a razão r = mn.
Usando as coordenadas:
Para x:
3 = m cdot 7 + n cdot 1m + n
E para y:
4 = m cdot 8 + n cdot 2m + n
Passo 6
Resolvendo a equação de x:
3(m + n) = 7m + n
3m + 3n = 7m + n
-4m + 2n = 0
2n = 4m
n = 2m
Passo 7
Portanto, a razão r = mn = m2m = 12.
Resposta
(A) As coordenadas do ponto P são (3,25, 4,25). (B) A razão de divisão é 1:2.