Dados o segmento A B, sendo A(1,2) e B(7,8) determine:
(A) As coordenadas do ponto P que divide o segmento A B na razão r=3 / 5;
(B) A razão de secção que o ponto P(3,4) divide o segmento A B

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta AB com os pontos A(1,2) e B(7,8). Precisamos resolver duas partes:
  • (A) Encontrar as coordenadas do ponto P que divide AB na razão r = 35.
  • (B) Determinar qual a razão de divisão quando o ponto P(3,4) está no segmento AB.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de divisão de segmento na geometria analítica, que nos ajuda a encontrar um ponto que divide um segmento interno ou externamente em uma certa proporção.

Passo 2

Vamos começar com a parte (A). A fórmula para encontrar as coordenadas de um ponto P(x, y) que divide o segmento AB na razão r = mn é:
x = m cdot xB + n cdot xAm + n
y = m cdot yB + n cdot yAm + n
Aqui, m = 3 e n = 5, já que a razão é 35.

Passo 3

Aplicando os valores na fórmula:
Para a coordenada x:
x = 3 cdot 7 + 5 cdot 13 + 5 = 21 + 58 = 268 = 3,25
Para a coordenada y:
y = 3 cdot 8 + 5 cdot 23 + 5 = 24 + 108 = 348 = 4,25

Passo 4

Então, as coordenadas do ponto P são (3,25, 4,25).

Passo 5

Agora, vamos para a parte (B). Queremos descobrir a razão de divisão quando o ponto P(3,4) está no segmento AB. Usamos a mesma fórmula, mas desta vez sabemos as coordenadas de P e queremos achar a razão r = mn.
Usando as coordenadas:
Para x:
3 = m cdot 7 + n cdot 1m + n
E para y:
4 = m cdot 8 + n cdot 2m + n

Passo 6

Resolvendo a equação de x:
3(m + n) = 7m + n
3m + 3n = 7m + n
-4m + 2n = 0
2n = 4m
n = 2m

Passo 7

Portanto, a razão r = mn = m2m = 12.

Resposta

(A) As coordenadas do ponto P são (3,25, 4,25).
(B) A razão de divisão é 1:2.

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