Determine a equação reduzida da hipérbole onde: Os vértices imaginários são
e os vértices reais são
e
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre hipérboles. A questão nos dá as coordenadas de quatro pontos: dois chamados de vértices imaginários
e
, e dois chamados de vértices reais
e
. Nosso objetivo é determinar a equação reduzida dessa hipérbole. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de vértices reais e imaginários, além de saber como montar a equação da hipérbole a partir desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Observando os pontos dados, percebemos que todos estão simétricos em relação à origem
. Isso indica que o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar os vértices reais dos vértices imaginários. No caso das hipérboles, os vértices reais são os pontos onde a hipérbole intercepta seu eixo principal (transversal), e os vértices imaginários estão relacionados ao eixo conjugado.
- Vértices Reais:
e . Esses pontos estão no eixo y, então o eixo transversal é vertical. - Vértices Imaginários:
e . Esses estão no eixo x, representando o eixo conjugado.
Passo 4
Com o centro em
e sabendo que o eixo transversal é vertical, a equação padrão da hipérbole fica:
Como o centro
é
, simplificamos para:
Passo 5
Vamos determinar os valores de
e
:
-
Valor de
: É a distância do centro aos vértices reais. Observando e , a distância é 3. Então, . -
Valor de
: É a distância do centro aos vértices imaginários. Observando e , a distância é 2. Então, .
Passo 6
Substituindo os valores de
e
na equação padrão da hipérbole, temos:
Simplificando os quadrados:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: