Determine a equação reduzida da hipérbole onde: Os vértices imaginários são B1=(-2,0), B2=(2,0) e os vértices reais são A1=(0,-3) e A2=(0,3).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre hipérboles. A questão nos dá as coordenadas de quatro pontos: dois chamados de vértices imaginários B1=(-2,0) e B2=(2,0), e dois chamados de vértices reais A1=(0,-3) e A2=(0,3). Nosso objetivo é determinar a equação reduzida dessa hipérbole. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de vértices reais e imaginários, além de saber como montar a equação da hipérbole a partir desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Observando os pontos dados, percebemos que todos estão simétricos em relação à origem . Isso indica que o centro da hipérbole é .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar os vértices reais dos vértices imaginários. No caso das hipérboles, os vértices reais são os pontos onde a hipérbole intercepta seu eixo principal (transversal), e os vértices imaginários estão relacionados ao eixo conjugado.
  • Vértices Reais: A1=(0,-3) e A2=(0,3). Esses pontos estão no eixo y, então o eixo transversal é vertical.
  • Vértices Imaginários: B1=(-2,0) e B2=(2,0). Esses estão no eixo x, representando o eixo conjugado.

Passo 4

Com o centro em (y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1 e sabendo que o eixo transversal é vertical, a equação padrão da hipérbole fica:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Como o centro é , simplificamos para:

Passo 5

Vamos determinar os valores de A1=(0,-3) e A2=(0,3):
  • Valor de B1=(-2,0): É a distância do centro aos vértices reais. Observando B2=(2,0) e , a distância é 3. Então, .
  • Valor de : É a distância do centro aos vértices imaginários. Observando e , a distância é 2. Então, .

Passo 6

Substituindo os valores de y^23^2 - x^22^2 = 1 e y^29 - x^24 = 1 na equação padrão da hipérbole, temos:
Simplificando os quadrados:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
y^29 - x^24 = 1

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