Determine a equação reduzida da hipérbole onde: F1=(-13,0), F2=(13,0) e eixo real tem comprimento 24 .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos os focos da hipérbole em F1=(-13,0) e F2=(13,0), e o eixo real tem comprimento 24. Nosso objetivo é achar a equação reduzida dessa hipérbole. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de hipérbole e entender direitinho o que cada informação significa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica exatamente no meio entre os dois focos. Como os focos estão em (-13,0) e (13,0), o ponto médio entre eles é (0,0). Então, o centro é (0,0).

Passo 3

Agora, vamos ver os parâmetros a e c da hipérbole:
  • a representa a distância do centro até um vértice ao longo do eixo real. Como o eixo real tem comprimento 24, então a = 242 = 12.
  • c representa a distância do centro até cada foco. A distância entre os focos é 26 (de -13 até 13), então c = 262 = 13.

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de b, que está relacionado à abertura da hipérbole. A relação entre a, b e c é dada por:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores que já temos:
13^2 = 12^2 + b^2 169 = 144 + b^2 b^2 = 169 - 144 b^2 = 25 b = 5

Passo 5

Agora que temos a = 12, b = 5 e o centro em (0,0), podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. Como os focos estão ao longo do eixo x, a equação padrão é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo h = 0, k = 0, a = 12 e b = 5, temos:
x^2144 - y^225 = 1

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
x^2144 - y^225 = 1

Exercícios relacionados