Determine a equação reduzida da hipérbole onde:
e eixo real tem comprimento 24 .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos os focos da hipérbole em
e
, e o eixo real tem comprimento 24. Nosso objetivo é achar a equação reduzida dessa hipérbole. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de hipérbole e entender direitinho o que cada informação significa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica exatamente no meio entre os dois focos. Como os focos estão em
e
, o ponto médio entre eles é
. Então, o centro é
.
Passo 3
Agora, vamos ver os parâmetros
e
da hipérbole:
-
representa a distância do centro até um vértice ao longo do eixo real. Como o eixo real tem comprimento 24, então . -
representa a distância do centro até cada foco. A distância entre os focos é (de até ), então .
Passo 4
Precisamos encontrar o valor de
, que está relacionado à abertura da hipérbole. A relação entre
,
e
é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Agora que temos
,
e o centro em
, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. Como os focos estão ao longo do eixo x, a equação padrão é:
Substituindo
,
,
e
, temos:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: